Elliptische Funktionen und Integrale werden bei zahlreichen Anwendungen in der Technik angewendet. Die am häufigsten auftretenden elliptischen Funktionen sind die sogenannten Jacobi elliptischen Funktionen sn (x, k), cn (x, k), dn (x, k). Die Funktion sn (x, k) ist in ihrem Verlauf der Sinusfunktion ähnlich, während die Funktion cn (x, k) der Kosinusfunktion ähnlich ist. Für k=0 gehen die Funktionen sn (x, 0) und cn (x, 0) in die Sinus-bzw. Kosinusfunktion über. Der Wert von k liegt meistens in dem Intervall [0, 1].

In der Nachrichtentechnik spielen elliptische Funktionen beispielsweise beim Entwurf von Cauer-Filtern eine Rolle.

Denn wesentliche Parameter des Cauer-Filters hängen durch elliptische Funktionen zusammen. Ein Verfahren und eine Anordnung zum Einstellen eines analogen Filters mit Hilfe von elliptischen Funktionen ist in der deutschen Patentanmeldung 102 49 050.3 beschrieben. Elliptische Funktionen finden ebenfalls Anwendung bei der zweidimensionalen Darstellung, Interpolation oder Kompression von Daten, die in der deutschen Patentanmeldung 102 48 543.7 beschrieben sind.

Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, analoge Schaltungsanordnungen bereitzustellen, welche elliptische Funktionen elektrisch nachbilden können.

Das oben genannte technische Problem wird durch die Merkmale des Anspruchs 1 gelöst.

Danach weist eine analoge Schaltungsanordnung mehrere Analogrechenschaltungen, wie z. B. analoge Multiplizierer, Addierer, Integrierer, Differenzverstärker und Dividierer auf, die wenigstens ein Ausgangssignal erzeugen, dessen Kurvenverlauf wenigstens abschnittsweise einer elliptischen Funktion entspricht oder angenähert ist.

Vorteilhafte Weiterbildungen sind Gegenstand der Unteransprüche.

Vorzugsweise werden mit der analogen Schaltungsanordnung Jacobi elliptische Funktionen elektrisch nachgebildet.

Eine besonders effizient ausgebildete analoge :,, Schaltungsanordnung umfasst analoge Multiplizierer und Integrierer, die in der Lage sind, drei Ausgangssignale zu liefern, deren Kurvenverläufe wenigstens abschnittsweise den 2 Jacobi elliptische Zeitfunktionen sn (@/T#t, k), cn (2#/T#t, k) und dn (2#/T#t, k) entsprechen oder angenähert sind. In diesen Zeitfunktionen ist k der Modul der elliptischen Funktionen, f=1/T die Frequenz der elliptischen Zeitfunktionen und wobei das sogenannte arithmetisch-geometrische Mittel von 1 und darstellt. Der Wert k liegt meistens im Intervall [0, 1].

Häufig tritt der Anwendungsfall auf, dass einem Eingangssignal ein bestimmtes Ausgangssignal zugeordnet wird.

Gemäß einer vorteilhaften Weiterbildung sind daher mehrere

Analogrechenschaltungen derart zusammengeschaltet, dass bei einer Eingangsgröße x die Ausgangsgröße y eine elliptische Funktion von x ist.

Wird als Eingangssignal eine Dreiecksfunktion an eine Schaltungsanordnung gelegt, welche beispielsweise sn (x) realisiert, erhält man am Ausgang eine elliptische Zeitfunktion.

Eine Schaltungsanordnung, die diesen funktionalen Zusammenhang erzeugen kann, weist einen ersten Multiplizierer auf, an dessen einen Eingang ein Eingangssignal mit der Größe x, vorzugsweise ein dreickförmiges Eingangssignal, und an dessen andern Eingang der Faktor (1-k2)/2 angelegt ist.

Ferner ist ein zweiter Multiplizierer vorgesehen, an dessen einen Eingang das dreieckförmige Eingangssignal und an dessen anderen Eingang der Faktor (lit2)/2 angelegt ist. Ein Differenzverstärker ist mit dem Ausgang des zweiten Multiplizierers verbunden, wobei ein weiterer Eingang des Differenzverstärkers auf Masse liegt. Ferner ist ein Addierer vorgesehen, der mit dem Ausgang des ersten Multiplizierers und dem Ausgang des Differenzverstärkers verbunden ist. Am Ausgang des Addierers liegt ein Ausgangssignal Ua an, welches mit dem Eingangssignal durch die Jacobi elliptische Funktion sn (Ue) verknüpft ist.

Mit Hilfe einer analogen Divisionseinrichtung können weitere elliptische Funktionen realisiert werden. Um ein Ausgangssignal gemäß der elliptischen Funktion sd (-'t, k) zu erzeugen, werden an die analoge Divisionseinrichtung die Ausgangssignale sn(2#/T#t, k) und dn (2#/T#t, k) angelegt. Um

2 ein Ausgangssignal gemäß der elliptischen Funktion cd (@/T#t, k) zu erzeugen, werden die Ausgangssignale cn(2#/T#t, k) und dn (2#/T#t, k) an die Eingänge der analogen Divisionseinrichtung angelegt.

In vielen Fällen will man die Frequenz sowie den Wert k einer elliptischen Funktion gezielt steuern oder beeinflussen. Ein typischer Anwendungsfall ist beispielsweise die spannungsgesteuerte Veränderung der Frequenz f, der Schwingungsdauer T oder des Moduls k. Zu diesem Zweck ist es erforderlich, den Wert der Frequenz f und den Wert von gezielt auszuwählen. Wie oben bereits erwähnt, stehen die Größen Z und z in folgendem Zusammenhang : Aus diesem Grunde ist es zweckmäßig, das arithmetisch- geometrische Mittel mit Hilfe von Analogrechenschaltungen nachzubilden.

Gemäß einer ersten Ausführungsform ist wenigstens eine Analogrechenschaltung vorgesehen, an deren erstem Eingang der Wert 1 und an deren zweitem Eingang der Faktor anliegt. An dem ersten Ausgang der Analogrechenschaltung liegt das arithmetische Mittel der beiden Eingangssignale an, wohingegen an dem zweiten Ausgang der Analogrechenschaltung das geometrische Mittel der beiden Eingangssignale anliegt.

Ferner ist eine mit den Ausgängen der Analogrecheneinrichtungen verbundene Analogrechenschaltung

zum Berechnen des arithmetischen Mittels vorgesehen, welches näherungsweise dem arithmetisch-geometrischen Mittel entspricht.

Eine alternative analoge Schaltungsanordnung zum Erzeugen des arithmetisch-geometrischen Mittels weist eine Analogrechenschaltung zum Berechnen des Minimums aus zwei Eingangssignalen, eine Analogrechenschaltung zum Berechnen des Maximums aus zwei Eingangssignalen, eine Analogrechenschaltung zum Berechnen des arithmetischen Mittels aus zwei Eingangssignalen sowie eine Analogrechenschaltung zum Berechnen des geometrischen Mittels aus zwei Eingangssignalen auf. Der Ausgang der Analogrechenschaltung zum Berechnen des Minimums ist mit einem Eingang der Analogrechenschaltung zum Berechnen des arithmetischen Mittels und einem Eingang der Analogrechenschaltung zum Berechnen des geometrischen Mittels verbunden. Der Ausgang der Analogrechenschaltung zum Berechnen des Maximums ist mit einem anderen Eingang der Analogrechenschaltung zum Berechnen des arithmetischen Mittels und einem anderen Eingang der Analogrechenschaltung zum Berechnen des geometrischen Mittels verbunden. Ein Eingang der Analogrechenschaltung zum Berechnen des Minimums ist mit dem Ausgang der Analogrechenschaltung zum Berechnen des arithmetischen Mittels verbunden, wobei an dem anderen Eingang der Wert 1 angelegt ist. Ein Eingang der Analogrechenschaltung zum Berechnen des Maximums ist mit dem Ausgang der Analogrechenschaltung zum Berechnen des geometrischen Mittels verbunden, wobei an dem anderen Eingang der Wert anliegt. Demzufolge liegt am Ausgang der Analogrechenschaltung zum Berechnen des geometrischen Mittels und am Ausgang der Analogrechenschaltung zum Berechnen des arithmetischen Mittels das arithmetisch-geometrische Mittel M von 1 und an.

Um den Wert Z schaltungstechnisch bereitstellen zu können, ist eine Einrichtung, insbesondere ein Dividierer vorgesehen, an dessen Eingänge das arithmetisch-geometrische Mittel und die Zahl Z anliegt.

Die Erfindung wird nachfolgend anhand mehrerer Ausführungsbeispiele in Verbindung mit den beiliegenden Zeichnungen näher erläutert. Es zeigen : Fig. 1 eine analoge Schaltungsanordnung zum Erzeugen von drei Ausgangssignalen, die jeweils einer Jacobi elliptischen Zeitfunktion entsprechen, Fig. 2 eine analoge Schaltungsanordnung zum Erzeugen eines Ausgangssignals, welches der Jacobi elliptischen Zeitfunktion sn (2#/T#t) entspricht, Fig. 3 eine analoge Schaltungsanordnung zum Erzeugen eines Ausgangssignals, welches mit einem dreieckförmigen Eingangssignal durch die Jacobi elliptische Zeitfunktion sn (Ue) verknüpft ist, Fig. 4 eine analoge Schaltungsanordnung, die aus zwei Eingangssignalen einen Schätzwert für das arithmetisch-geometrische Mittel M liefert, Fig. 5 eine alternative analoge Schaltungsanordnung zum Berechnen des arithmetisch-geometrischen Mittels M aus zwei Eingangssignalen und Fig. 6 einen Dividierer zum Erzeugen des Wertes Zunächst werden analoge Schaltungsanordnungen betrachtet, die wenigstens ein Ausgangssignal erzeugen, dessen Kurvenverlauf

einer Jacobi elliptischen Zeitfunktion entspricht oder angenähert ist. Wie bereits einleitend angeführt, werden im Folgenden die sogenannten Jacobi elliptischen Funktionen sn (x, k), cn (x, k) und dn (x, k) verwendet. Bei der Betrachtung von Zeitfunktionen werden in den obigen Funktionen die Variable x durch t ersetzt und der Einfachheit halber der Wert von k in den nachfolgenden Formeln weggelassen.

Unter diesen Voraussetzungen lassen sich folgende wohlbekannte Gleichungen zu den Jacobi elliptischen Funktionen angeben : d dt sn (t) = cn (t)-dn (t) (1) dut @/dt cn (t) = - sn(t) # dn(t) (2) d/dt dn (t) = - k2sn(t) # cn(t). (3) Erläuterungen zu elliptischen Funktionen sind unter anderem in der Literatur"Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie und elliptischen Funktionen", A. Hurwitz, Springer Verlag, Neuauflage 2000, Seite 204 zu entnehmen.

Um elliptische Funktionen elektrisch nachbilden zu können, bei der die Frequenz f verändert werden kann, ist es nötig, ähnlich wie bei den Kreisfunktionen entsprechende multiplikative Konstanten, die zur Variablen t hinzutreten, zu berücksichtigen. Statt der Kreiskonstanten n wird die Konstante z verwendet. Die Größe steht zur Größe z in folgendem Zusammenhang :

Die Funktion bildet das sogenannte arithmetisch- geometrische Mittel von 1 und Mit der Periodendauer T und der Einführung von z ergeben sich folgende Differenzialgleichungen : d/@ sn (2#/T#t) = 2#/T##cn(2#/T#t (5) dt T T T T <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> d/@ cn (2#/T#t) = -2#/T#sn(2#/T#t)#dn(2#/T#t) (6)<BR> <BR> <BR> dt T T T T <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> d/@ dn (2#/T#t) = -k22#/T#sn (2#/T#t)#cn(2#/T#t) (7) dt T T T T wobei f=1/T die Frequenz der elliptischen Funktionen ist.

Fig. 1 zeigt eine analoge Schaltungsanordnung, die drei Ausgangssignale, erzeugt, deren Kurvenverläufe den Jacobi elliptischen Funktionen entsprechen.

Gemäß Fig. 1 sind ein Multiplizierer 10, ein Multiplizierer 20 sowie ein analoger Integrierer 30 hintereinander geschaltet. Ferner ist ein analoger Multiplizierer 40, ein analoger Multiplizierer 50 sowie ein weiterer analoger Integrierer 60 hintereinander geschaltet. Eine dritte Reihenschaltung umfasst einen weiteren analogen Multiplizierer 70, einen anlogen Multiplizierer 80 sowie einen analogen Integrierer 90. Der analoge Multiplizierer 20 multipliziert das Ausgangssignal des Multiplizierers 10 mit dem Faktor 2kIT. Der Multiplizierer 50 multipliziert das zu Ausgangssignal des Multiplizierers 40 mit dem Faktor-T

Der Multiplizierer 80 multipliziert das Ausgangssignal des Multiplizierers 70 mit dem Faktor -k22#/T.

Das Ausgangssignal des Integrierers 30 wird auf den Multiplizierer 40 und auf den Eingang des Multiplizierers 70 rückgekoppelt. Das Ausgangssignal des Integrierers 60 wird auf den Eingang des Multiplizierers 10 und auf den Eingang des Multiplizierers 70 rückgekoppelt. Der Ausgang des Integrierers 90 wird auf den Eingang des Multiplizierers 40 und auf den Eingang des Multiplizierers 10 rückgekoppelt.

Es sei angemerkt, dass schaltungstechnisch bekannte Maßnahmen zur Berücksichtigung vordefinierter Anfangszustände bei Inbetriebnahme in der Schaltung nicht eingezeichnet sind.

Eine solche in Fig. 1 gezeigte analoge Schaltungsanordnung liefert am Ausgang des Integrators 30 die Jacobi elliptischen Zeitfunktion sn (2 # ft), am Ausgang des Integrierers 60 die Jacobi elliptische Funktion cn (2oft) und am Ausgang des Integrierers 90 die Jacobi elliptische Funktion dn (2 # ft).

Es sei angemerkt, dass die multiplikation mit ~ 2#/T in den Multiplizierern 20 bzw. 50 und die Multiplikation mit -k22#/T im Multiplizierer 80 auch in den Integrierern 30,60 und 90 erfolgen kann. Die Multiplikation mit k2 kann auch an den Ausgang des Integrierers 90 gelegt werden. Weiter ist es möglich, der in Fig. 1 gezeigten Schaltungsanordnung bekannte Stabilisierungsschaltungen hinzuzufügen, wie sie beispielsweise in der Fachliteratur"Halbleiter Schaltungstechnik", Tietze, Schenk, Springer Verlag, 5,.

Auflage, 1980, Berlin Heidelberg New York, Seiten 435-438 beschrieben sind.

Mit der in Fig. 1 dargestellten analogen Schaltungsanordnung können alle drei Jacobi elliptische Zeitfunktionen sn (2ft), cn (2oft) und dn (2 # ft) gleichzeitig realisiert werden.

Außerdem erhält man am Ausgang der Multiplizierer 10, 40 und 70 jeweils noch die Ableitungen der Jacobi elliptischen Zeitfunktionen sn, cn bzw. dn.

Soll beispielsweise nur die Jacobi elliptische Zeitfunktion sn ((2 # ft)) mittels einer analogen Schaltungsanordnung realisiert werden, kommt man mit weniger Multiplizierern aus, indem die für sn (2oft) geltende Differenzialgleichung zweiten Grades betrachtet wird, die aus den oben genannten Differenzialgleichungen hergeleitet werden können. Die für sn (2gEt) geltende Differenzialgleichung zweiten Grades lautet : <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> z<BR> <BR> d1/@ sn (2#/T#t) = - (2#/T)2#sn(2#/T#t)# (1+k2- = 2k2sn2(2#/T#t)) (8)<BR> <BR> <BR> dt2 T T T T Eine beispielhafte analoge Schaltungsanordnung, die diese Differenzialgleichung nachbildet, ist in Fig. 2 dargestellt.

Die analoge Schaltungsanordnung weist einen Multiplizierer 100 auf, dessen Ausgang mit einem nachgeschalteten Multiplizierer 110 verbunden ist. An den Eingang des Multiplizierer 110 ist ferner der Faktor-2k2 angelegt. Der Ausgang des Multiplizierers 110 ist mit einem Eingang eines Addierers 120 verbunden. An einem zweiten Eingang des Addierers 120 liegt der Faktor 1+k2 an. Der Ausgang des Addierers 120 ist mit dem Eingang eines Multiplizierers 130 verbunden. An einen weiteren Eingang des Multiplizierers 130 ist der Faktor -(2#/T)2 angelegt. Der Ausgang des

Multiplizierers 130 ist mit einem Eingang eines Multiplizierers 140 verbunden. Der Ausgang des Multiplizierers 140 ist mit einem Eingang eines Integrierers 150 verbunden. Der Ausgang des Integrierers 150 ist mit dem Eingang eines Integrierers 160 verbunden. Der Ausgang des Integrierers 160 ist auf den Eingang des Multiplizierers 140 sowie an zwei Eingängen des Multiplizierers 100 zurück gekoppelt. Auf diese Weise erscheint am Ausgang des Integrierers 160 ein Ausgangssignal, dessen Kurvenverlauf der Jacobi elliptischen Zeitfunktion sn (2#/T#t) entspricht.

Die Multiplikation mit dem Faktor (2#/T)2 kann zweckmäßigerweise wieder in den Integratoren 150 und 160 durchgeführt werden.

Nachfolgend wird ein Ausführungsbeispiel beschrieben, bei dem zwischen einem Eingangssignal und einem Ausgangssignal näherungsweise ein funktionaler Zusammenhang entsprechend der Jacobi elliptischen Funktion sn (2oft) besteht.

Die in Fig. 3 dargestellte analoge Schaltungsanordnung umfasst einen Differenzverstärker 170, einen Multiplizierer 180, einen Multiplizierer 190 sowie einen Addierer 200. An jedem Eingang der Multiplizierer 180 und 190 wird beispielsweise ein Eingangssignal mit einem dreieckförmigen Spannungsverlauf angelegt. An den Multiplizierer 180 wird ferner der Faktor (1-k2)/2 angelegt, wohingegen an den Multiplizierer 190 der Faktor (lit2)/2 angelegt wird. Das Ausgangssignal des Multiplizierers 190 wird dem Differenzverstärker 170 zugeführt. Der zweite Eingang des Differenzverstärkers liegt auf Masse. Der Ausgang des Multiplizierers 180 und der Ausgang des Differenzverstärkers 170 sind mit den Eingängen des Addierers 200 verbunden.

Aufgrund der Tatsache, dass die Differenzverstärkungsschaltung 170 einen Zusammenhang zwischen dem Eingangssignal Ue und dem Ausgangssignal Ua gemäß der Gleichung Ua = R-I. tanh (--)- (9) T hat, erzeugt die in Fig. 3 dargestellte Schaltungsanordnung bei geeignet gewählten Parametern des Differenzverstärkers am Ausgang ein Signal Ua, welches mit dem Eingangssignal Ue näherungsweise über die Jacobi elliptische Funktion sn verknüpft ist.

An dieser Stelle sei erwähnt, dass es für einen Durchschnittsfachmann ohne weiteres möglich ist, Schaltungsanordnungen zu entwickeln, bei denen ein Ausgangssignal und ein Eingangssignal über die Jacobi elliptische Funktion cn oder dn verknüpft sind.

Um weitere elliptische Funktionen erzeugen zu können, kann der in Fig. 1 dargestellten Schaltungsanordnung eine nicht dargestellte Divisionseinrichtung nachgeschaltet sein. Um beispielsweise die elliptische Funktion sd (x) =sn (x)/dn (x) zu erzeugen, können der Divisionseinrichtung die Ausgangssignale der Integrierer 30 und 60 zugefügt werden. Ferner können der Divisionseinrichtung die Ausgangssignale der Integrierer 60 und 90 zugeführt werden, um die elliptische Funktion cd (x) =cn (x/dn (x) zu erzeugen.

In manchen Fällen ist es wünschenswert, die Frequenz f oder den Wert von k gezielt zu steuern.

Gemäß Gleichung (4) ist es möglich, den Wert durch Veränderung des Wertes k zu verändern. Das heißt, die Berechnung von Z und somit von k kann durch eine Berechnung des arithmetisch-geometrischen Mittels erfolgen. Eine Möglichkeit, die Frequenz der mit der Schaltungsanordnung nach Fig. l erzeugten Jacobi elliptischen Funktionen zu verändern, besteht darin, den Multiplizierern 20,50 und 80 einen gezielt geänderten Wert für zuzuführen.

Um X schaltunngstechnisch erzeugen zu können, kann zunächst das arithmetisch-geometrische Mittels beispielsweise mit einer analogen Schaltungsanordnung realisiert werden, die in Fig. 4 dargestellt ist. Die in Fig.

4 dargestellte Schaltungsanordnung besteht aus mehreren mit AG bezeichneten Analogrechenschaltungen 210, 220,230 sowie einer Analogrechenschaltung 240 zum Berechnen des arithmetischen Mittels aus zwei Eingangssignalen. Die Analogrechenschaltungen 210 bis 230 sind derart ausgeführt, dass sie an einem Ausgang das arithmetische Mittel der beiden Eingangssignale und am anderen Ausgang das geometrische Mittel der beiden Eingangssignale erzeugen. Wie in Fig. 4 dargestellt, wird an den ersten Eingang der Analogrechenschaltung 210 der Faktor 1 und an dessen anderen Eingang der Faktor angelegt. Unter der Voraussetzung, dass der Faktor zwischen 0 und 1 liegt, entspricht das Ausgangssignal der Analogschaltungseinrichtung 240 in etwa dem arithmetisch-geometrischen Mittel M der an den Eingängen der Analogrechenschaltung 210 angelegten Faktoren 1 und

Fig. 5 zeigt eine alternative analoge Schaltungsanordnung zur Berechnung des arithmetisch-geometrischen Mittels M der beiden Faktoren 1 und Die in Fig. 5 dargestellte Schaltungsanordnung weist eine Analogrechenschaltung 250 zum Berechnen des Minimums aus zwei Eingangssignalen, eine Analogrechenschaltung 260 zum Berechnen des Maximums aus zwei Eingangssignalen, eine Analogrechenschaltung 270 zum Berechnen des arithmetischen Mittels aus zwei Eingangssignalen und eine Analogrechenschaltung 280 zum Berechnen eines geometrischen Mittels aus zwei Eingangssignalen auf. An einen Eingang der Analogrechenschaltung 250 ist der Faktor 1 angelegt, wohingegen an einen Eingang der Analogrechenschaltung 260 der Faktor angelegt ist. Der Ausgang der Analogrechenschaltung 250 zum Berechnen des Minimums aus zwei Eingangssignalen ist mit dem Eingang der Analogrechenschaltung 270 und der Analogrechenschaltung 280 verbunden. Der Ausgang der Analogrechenschaltung 260 zum Berechnen des Maximums aus zwei Eingangssignalen ist mit einem Eingang der Analogrechenschaltung 270 und einem Eingang der Analogrechenschaltung 280 verbunden. Der Ausgang der Analogrechenschaltung 270 ist mit einem Eingang der Analogrechenschaltung 250 verbunden, wohingegen der Ausgang der Analogrechenschaltung 280 mit einem Eingang der Analogrechenschaltung 260 verbunden ist. Bei der in Fig. 5 dargestellten analogen Schaltungsanordnung liefern die Ausgänge der Analogrechenschaltung 270 und 280 jeweils das arithmetisch-geometrische Mittel M von 1 und Bei der technischen Realisierung der Schaltungsanordnung nach Fig. 5 sind Laufzeiteffekte nicht berücksichtigt, die mit in der Schaltungstechnik geläufigen Methoden (z. B.

Abtasthaltegliedern) behandelt werden können.

Die Berechnung von k kann nunmehr über eine in Fig. 6 dargestellte Divisionseinrichtung 290 erfolgen, an deren Eingänge die Zahl X und das arithmetisch-geometrische Mittel welches beispielsweise von der in Fig. 4 oder in Fig. 5 dargestellten Schaltung erzeugt wird, angelegt sind.

Auf diese Weise können den Multiplizierern 20,50 und 80 der Schaltungsanordnung nach Fig. 1 gezielt geänderte Werte für zugeführt werden, wodurch das Frequenzverhalten der Ausgangsfunktionen gezielt beeinflusst werden kann.