Le dispositif proposé, est un densimètre, constitué d'un capteur électromagnétique de forces comprenant un crochet (CR3, Photo 1), auquel est suspendu un plongeur solide (PL, Photo 1) par l'intermédiaire d'un fil de liaison en polyamide de diamètre 0.1mm, de longueur 5cm et de masse négligeable, Le plongeur est immergé dans un liquide (L, Photo 1) contenu dans un récipient (RE, Photo 1).

En mécanique classique des milieux continus, la statique des fluides réels est identique à celle des fluides parfaits, car en l'absence d'écoulement les forces de viscosité n'interviennent pas. Il en résulte que le tenseur des contraintes σ est un tenseur isotrope de la forme : σ = - p I où p est la pression hydrostatique et I le tenseur unité.

Cette relation fondamentale est à l'origine du principe d'Archimède selon lequel tout corps immergé dans un fluide en équilibre subit de la part de celui-ci une poussée dont l'intensité est égale au poids du fluide déplacé.

Les méthodes utilisant le principe d'Archimède sont classiques en densimétrie des solides. Elles consistent à mesurer le poids apparent des corps solides dans les liquides de référence dont la densité est connue avec précision et elles permettent ainsi de déterminer les volumes des solides et leur densité.

Le dispositif expérimental que nous proposons permet les mesures de densité des liquides et des solides, à la température ambiante et aussi les mesures de densité en fonction de la température.

Principe de fonctionnement :

Nous désignons par PL la masse volumique du liquide à étudier exprimée en g/cm , Mp la masse du plongeur en grammes, p _p sa masse volumique (p _p > PL), Vp son volume en cm Qui est aussi égale au volume du fluide déplacé, et g l'intensité du champ de pesanteur. L'intensité PA de la poussée d'Archimède et du poids apparent F du plongeur sont donnés par :

PA= pL _p g = p _L M _p g / pp

F = Mp g - P _A = (1 - pi/pp) M _p g

La mesure de F donne directement la valeur de PL :

p _L = p _p (l- F/ M _p g)

D'un point de vue pratique, le poids apparent a été mesuré à l'aide du capteur électromagnétique de forces dont l'étendu de mesure est de 10g, qui a été étalonné en utilisant des masses marquées de précision et dont les résultats sont présentés sur le tableau.1 avec la courbe d'étalonnage fîg.l

Tableau 1 : Etalonnage du capteur de forces

L'ajustement de Vs en fonction de la masse accrochée au capteur est un polynôme d'ordre 4. V(m) = A + Bi m + B ₂ m ² + B ₃ m ³ + B ₄ m ⁴ , le coefficient de corrélation est 1 à 10 ^"5 près, et l'écart-type compatible avec la précision expérimentale.

Détermination expérimentale des caractéristiques du plongeur :

Nous avons relié le plongeur au capteur (Photo 1) par l'intermédiaire d'un fil très fin en polyamide de diamètre 0.1mm, de longueur 5cm, et dont la masse et négligeable. La tension de sortie délivrée par le capteur et prélevée à l'aide d'un voltmètre numérique de précision 0.1 mV, nous a permis de déterminer sa masse en utilisant le polynôme d'ajustement m = f(V) avec V en (mv) et m en (g).

Pour la détermination de son volume, nous avons utilisé l'eau distillée comme liquide de référence, en immergeant le plongeur dans l'eau contenu dans un récipient, le capteur nous délivre une tension V qui nous permet de déterminer son volume d'après l'équation suivante :

La détermination de la masse apparente m'est donnée par le polynôme d'ajustement d'ordre 3 de m en fonction de Vs tension de sortie du capteur.

Les caractéristiques expérimentales du plongeur sont données sur le tableau.2.

Tableau 2. Caractéristiques du plongeur.

La masse volumique du liquide à étudier est donnée par la relation : PL= PP - m'/ # Caractéristiques du capteur de forces :

Le capteur proposé est un capteur électromagnétique de forces, son principe de fonctionnement repose sur les lois fondamentales de l'électromagnétisme.

De tel capteur est constitué d'un circuit d'alimentation (Cil, Photo4), un circuit de conditionnement(CI2, photo4), de deux bobines plates identiques (BF, BM, photo2), de même diamètre 1.8cm, et formée chacune de 20 spires, qui sont des fils conducteurs de cuivre de section 0.1mm, un support solide fixé à un socle en marbre(SOC,photo3), un ressort élastique(R, photo3), et un cylindre (CY,photo3) solide isolant de diamètre 1.8cm, de hauteur 5cm et de perméabilité magnétique μ, deux crochets(CR2, CR3, photo3) sont fixés aux centres des deux bases du cylindre isolant.

Le support fixe est constitué de quatre parties : Une Planche rectangulaire(Pl,photo3) d'épaisseur 3cm, de longueur 20cm et de largeur 15cm, collée au socle en marbre (SOC,photo3) ; une planche (P2,photo2) de 30cm de longueur, 6cm de largeur et 3cm d'épaisseur est fixée à la planche rectangulaire de base et qui lui est perpendiculaire, Sur cette planche de 30cm maintenue verticalement, sont fixées de façon perpendiculaire deux planches (P3,P4,photo3) de 15cm de longueur chacune, de même épaisseur 1cm et même largeur 6cm, ces deux planches de 15cm de longueur sont parallèles entre elles et à l'horizontale et distantes de 10 cm l'une de l'autre. Sur la planche P3 est percé un orifice (OR, photo2) de diamètre 2cm, Dans lequel le cylindre (CY) est introduit et peut se déplacer verticalement quasiment sans frottement. Sur la planche (P4) est fixé un crochet (CRI, photo2), auquel est fixée l'extrémité supérieure du ressort (R, photo 2), à l'autre extrémité du ressort, est suspendu le cylindre (CY) par l'intermédiaire du crochet (CR2). Sur le cylindre est fixée la bobine (BM). Sur le contour de l'orifice (OR, photo2) est fixée la bobine fixe (BF, photo2). Le crochet CRI, le ressort R, le crochet CR2, le cylindre CY et le crochet CR3 sont alignés sur un même axe vertical (Photo 3). Le cylindre joue un rôle de guidage et permet à la bobine mobile (BM) qui lui est solidaire de s'approcher ou de s'éloigner de la bobine fixe (BF), lorsqu'on exerce une force sur le crochet (CR3, photo3) soit en lui accrochant des masses. Le cylindre est donc susceptible de se déplacer verticalement vers le haut ou vers le bas, quasiment sans frottement lorsqu'on exerce une force à son extrémité inférieure ; ce qui a pour effet d'allonger ou de comprimer le ressort. Les deux bobines plates (BF, BM) sont reliées par des fils de connexions (FC, photo4) au circuit de conditionnement (CI2, photo4) qui est alimenté par le circuit d'alimentation (Cil, photo4). La tension de sortie du circuit de conditionnement est acheminée vers un voltmètre numérique (V, photo 1) de précision 0.1 mV. La bobine fixe (fig 1 ; BF) est alimentée par un oscillateur de Wien (figl, OSC), de fréquence fo = 84Hz, dont les conditions de phase et d'amplification sont satisfaites avec R=10kn et C = 0.2μΡ). La condition d'amplification A = 1 + R2/R1 = 3 (R2 = 2.21<Ω et RI = IkQ). A est le gain en tension. Cet oscillateur est suivi de deux amplificateurs suiveurs d'isolement, pour alimenter la bobine fixe, et par conséquent, elle est parcourue par un courant sinusoïdal créant une induction magnétique sinusoïdale le long de son axe. Cette dernière crée, à travers la bobine mobile, un flux variable, Φ, et une force électromotrice induite variable et mesurable entre ses bornes. La valeur maximale de cette f.e.m induite dépend naturellement de la distance x séparant les deux bobines, et le flux Φ est proportionnel à l'induction magnétique, B, dont la variation, en fonction de x, est donnée par la relation suivante : B(x) = u jNIR ² /2(R ² + x ² ) ³¹² , avec I le courant parcourant les bobines, R leur rayon, N leur nombre de spire, et x la distance séparant les deux bobines. Pour x = 0, la formule précédente devient simple, et l'on a : B(x) = μ ₀ NI/2R.

Lorsqu'on accroche une masse au crochet, le ressort s'allonge, le cylindre se déplace vers le bas, et par conséquent, la distance x séparant les deux bobines diminue ; ce qui se traduit par une augmentation de la tension maximale induite aux bornes de la bobine mobile. Cette dernière étant de faible amplitude, il a fallu apporter des circuits d'amplifications,(Al, A2, Figl), de redressement et de filtrage (RF, Figl), pour rendre cette tension exploitable, à la sortie du circuit de conditionnent, un potentiomètre (PO, Figl) suivi d'un suiveur permet le réglage de la sensibilité du capteur.

Le circuit de conditionnement (figl) , (CI2, photo4) est alimenté par une alimentation symétrique stabilisée, ±15V (Cil, photo 4).

Le capteur proposé est caractérisé par une dérive (d'origine) : Lorsqu'on met le capteur en marche, il y a une dérive lente, et après environ 30 minutes de fonctionnement, cette dérive s'annule, et la tension de sortie du capteur se stabilise à une constante.

La réponse du capteur, V(m), n'est pas linéaire, mais elle obéit à une relation polynomiale. La conséquence immédiate de cette non-linéarité est une sensibilité variable, qui fait intervenir la distance x séparant les deux bobines. La précision de ce capteur dépend, manifestement, des éléments propres au dispositif expérimental (bobines, frottement, distance inter bobine, nombre de spires, ressort, et circuit de conditionnement du signal), et de la qualité de l'appareil de mesure utilisé.

La courbe caractéristique du capteur, V=f(m), est obtenue, en accrochant des masses de précision allant de 0g à 10g (tableau.1 ci-dessus), et en relevant la tension correspondante, à l'aide d'un voltmètre de précision 0.1 mV. (figure 1). Un ajustement polynomial d'ordre 4, caractérisé par un écart-type compatible avec la précision expérimentale du capteur (AV= ±0.05 mV), parait convenable :

V(m) = A + Bi m + B ₂ m ² + B ₃ m ³ + B ₄ m ⁴

avec les coefficients ajustés :

A= 141.38811, B, = 14.72675, B ₂ = 0.58925, B ₃ = 0.09621 , B ₄ = -0.009591

Les caractéristiques de cet ajustement polynomial sont : r = 0.99999 et σ = 0.0496, où r est le coefficient de corrélation et σ est l'écart type.

Pour la détermination des masses apparentes m', à partir des tensions correspondantes, nous avons utilisé la caractéristique inverse du capteur : m = f(V), qui obéit à un ajustement polynomial d'ordre 3. (Fig.2). Les coefficients de cet ajustement sont :

A= -13.42389, Bi = 0.13056, B ₂ = -2.91341xl0 ^'4 , B ₃ = 2.8684xl0 ^"7

Les caractéristiques de cet ajustement polynomial sont : r ² = 0.99999 et σ = 0.003, où r ² est le coefficient de corrélation et σ est l'écart type.

Le capteur électromagnétique de forces proposé est caractérisé par son étendu de mesure de 0g à 10g, qui dépend des caractéristiques mécaniques du ressort (k = lg/mm). Un cycle d'hystérésis apparaît lors du dépassement d'un certain allongement critique, et il y a apparition d'une déformation rémanente. Le choix d'un bon ressort parfaitement élastique est important. La gamme d'utilisation du capteur est limitée entre 0g et 10g, dans laquelle toutes les mesures sont réversibles. La sensibilité du capteur proposé dépend de la distance x interbobines, mais elle est pratiquement invariable, à distance fixée.

La précision du capteur dépend des éléments propres au dispositif expérimental (bobines, frottement, distance inter bobine, nombre de spires, ressort, et circuit de conditionnement du signal), et de la qualité de l'appareil de mesure utilisé. Nous avons utilisé un voltmètre numérique de précision 0.1 mV, l'erreur de lecture est estimée à 0.05 mV. Il en résulte une erreur absolue sur la masse 1.5mg < A m < 3mg, en relation avec la sensibilité du capteur (S= 60mg/mV à l'origine et S = 30mg/mV à 10g) donnée par Am = S AV.

Sensibilité du dispositif expérimental

En désignant par m' la masse apparente du plongeur :

m' = (p _p - p _L ) Ό _ρ

On voit qu'une variation ApL de la masse volumique du liquide engendre une variation Am' telle que : Am'= °D _P ApL

Il en résulte que la sensibilité de l'appareillage est d'autant plus élevée que le volume du plongeur est important. Pour le plongeur utilisé : °D _P ~ 10cm et en admettant Διη'^ 2mg, alors on obtient Ap _L ~ 2. 10 ^{" 4} g/cm ³ , qui est pratiquement la sensibilité extrême que l'on peut atteindre dispositif expérimental. Des variations Api < 2.10 ^{" 4} g/cm ³ ne peuvent être détectées.

Précision des mesures de PL

La masse volumique se calcule à partir des mesures de Mp, D _p , et m' à l'aide relation suivante :

on en déduit que l'erreur relative est la suivante :

Ap _L M _p + Am' Av _p

Elle dépend des caractéristiques du capteur et de celles du plongeur'

En particulier on voit que l'on a intérêt à utiliser un volume Ό _ρ suffisamment élevé pour la réduire à une valeur acceptable. La masse du plongeur a été mesurée avec une précision ΔΜρ= 2mg, Δηϊ= 2mg, ΔΌ _Ρ = 0.5.10 ^" , Ό _ρ ~ 8cm ³ et 6.4g < p _L °D _P < 8 g

L'application de ces valeurs numériques dans l'équation de l'erreur relative nous donne

9J p _L = 10 ^{" 3} .

Application 1:

Masse volumique des mélanges eau-éthanol. x(C ₂ H _é O),(l- )H ₂ 0 à température constante Θ = 20°C.

x représente la fraction molaire d'éthanol.

Les mélanges ont été préparés en utilisant de l'éthanol commercial qui a une certaine teneur en eau, et l'eau distillée.

Afin d'étudier ces mélanges et analyser dans de bonnes conditions l'influence de la fraction molaire sur la masse volumique, nous avons préparés systématiquement neuf systèmes dont la fraction molaire x est échelonnée de 0 à 1 avec un intervalle constant Δχ = 0,1.

En mélangeant une masse mj d'un liquide de masse molaire M _l5 et une masse m ₂ d'un liquide de masse molaire M ₂ , on obtient un système de masse m dont les concentrations pondérales sont liées aux fractions molaires ar les relations suivantes :

masses molaires de l'éthanol (C ₂ H ₆ 0) et l'eau (H ₂ 0) sont respectivement = 46g et M ₂ = 18g. La constante K = M ₂ = _ 0.28125.

M,

Nous avons calculé La concentration pondérale c de l'éthanol (c = c correspondant à chaque fraction molaire, et la masse irn à utiliser pour obtenir un mélange de masse standard

(m = 100g). Les pesées ont été effectuées à l'aide d'une balance électromagnétique réalisée au laboratoire, (capteur de forces analogue à celui décrit précédemment), Son étendu de mesure est de 100g et sa précision est inférieure à 50mg. Avec cette précision, l'erreur expérimentale commise sur la fraction molaire x est inférieure à 10 ^"2 . Nous avons effectué les mesures de masse volumique des 11 liquides ( x allant de 0 à 1 par pas de 0.1) successivement en introduisant à chaque fois le plongeur suspendu au capteur, dans le liquide contenu dans le récipient (RE, photo3) et en relevant la tension correspondante délivrée par le capteur en utilisant un voltmètre numérique pour chaque fraction molaire x.

Les résultats obtenus sont regroupés (Tableau3, Fig3a, Fig4a, Fig5a,).

Tableau 3 : Tension de sortie du capteur, Masse apparente, masse volumique en fonction de la fraction molaire x.

Une comparaison a été faite avec les résultats bibliographiques du Handbook of Chemistry and Physics, (Fig.6) et qui montre que nos mesures sont en très bon accord avec ces derniers pour les milieux riches en eau, et on note un écart qui devient de plus en plus important pour les milieux de plus en plus riches en éthanol. Cet écart s'explique facilement par l'éthanol que nous avons utilisé pour la préparation des mélanges, et qui n'était pas suffisamment pur.

L'éthanol du commerce à 90% utilisé, s'est avéré à 80% seulement, d'après nos mesures. Application 2:

Masse volumique des mélanges eau-lait à température constante Θ = 20°C.

Une étude analogue a été faite sur les mélanges eau-lait à température constante Θ = 20°C, Les mélanges ont été préparées en utilisant des fractions volumiques allant par pas de 10%, en partant de l'eau de densité lg/cm au lait entier commercial de densité 1.03 g/cm . Afin d'augmenter la sensibilité du dispositif expérimental, nous avons augmenté la sensibilité du capteur électromagnétique de forces, et nous avons remplacé le plongeur par un autre de volume plus important, dont les caractéristiques sont : Mp = 22.536g, p= 21.442cm ³ et p _p = 1.051 g/cm ³ .

Nous avons préparés systématiquement neuf systèmes dont le pourcentage du lait est échelonné de 0% à 100 % avec un intervalle constant Δχ = 10 %.

Nous avons préparé 200 Cm de chaque mélange, et on a effectué les mesures sur les onze liquides, les résultats sont regroupés au (tableau4, Fig3b, Fig4b, Fig5b).

Tableau 4 : Tension de sortie du capteur, Masse apparente, masse volumique en fonction du % du lait , des mélanges eau-lait.

Les variations de la masse volumique mélanges eau-lait sont monotones.

Description des figures.

Fig 1 : Courbe d'étalonnage du capteur de forces, V = f(m).

Fig 2 : Variations de la masse m en fonction de V, m = f(V).

Fig 3-a : Variations de la tension de sortie du capteur en fonction de la fraction molaire x des mélanges Eau- Ethanol.

Fig 3-b : Variations de la tension de sortie du capteur en fonction du % du lait des mélanges Eau- Lait.

Fig 4-a : Variations de la masse apparente m' en fonction de la fraction molaire x

Fig 4-b : Variations de la masse apparente m' en fonction du % du lait des mélanges eau-lait

Fig 5-a : Variations de la masse volumique des mélanges Eau-Ethanol en fonction de la fraction molaire x.

Fig 5-b : Variations de la masse volumique des mélanges Eau-Lait en fonction du % du lait

Fig 6 : Comparaison des valeurs expérimentales avec les valeurs Bibliographiques de la masse volumiques des mélanges Eau-Ethanol.

Fig 7 : Schéma électronique du circuit de conditionnement.

- OSC : Oscillateur de Wien

SBF : Bobine fixe alimentée via un amplificateur suiveur

Al : Amplificateur de la tension prélevée aux bornes de BM

A2 : Deuxième étage amplificateur de la tension aux bornes de BM

RF : Circuit de redressement et de filtrage

PO : Potentiomètre de réglage de Vs suivi d'un amplificateur suiveur.

Photol : Densimètre avec un plongeur en verre

CR3 : Crochet du capteur électromagnétique de forces

PL : Plongeur en verre, relié au crochet CR3 par un fil fin.

RE : Récipient contenant le liquide

L : Liquide à étudier ou de référence.

Cil : Circuit électronique d'alimentation du capteur

CI2 : Circuit électronique de conditionnement

V : Voltmètre numérique

Photo2 : Cylindre de guidage, ressort et Bobines plates (BM, BF)

- CRI : Crochet fixé sur P3

CR2 : Crochet fixé sur P4, auquel est suspendu le ressort

CY : Cylindre de guidage, auquel est fixée la bobine mobile BM

P2 : Planche du support fixe maintenue verticalement

P3 : Planche du support fixe comprenant un orifice circulaire OR

R : Ressort élastique

BM : Bobine plate mobile solidaire au cylindre

BF : Bobine plate fixe sur le contour de l'orifice OR

OR : Orifice circulaire de diamètre 2 cm

Photo3 : Densimètre avec un plongeur en plexiglas

(PI, P2, P3, P4) : Planches constituants le support fixe

- (CRI , CR2, CR3) : Crochets

(BF, BM) : Bobine plate fixe et bobine plate mobile

R : Ressort élastique

PL : Plongeur en Plexiglas

CY : Cylindre de guidage

RE : Récipient contenant le liquide et le plongeur en plexiglas

SOC : Socle solide sur lequel est fixé le support fixe du capteur

Photo4 : Connexions des bobines plates au circuit de conditionnement

FC : Fils de connexions des bobines plates (BM et BF) au circuit de conditionnement CI2. Cil : Circuit d'alimentation

CI2 : Circuit de conditionnement de la tension de sortie du capteur

PO : Potentiomètre de réglage de la sensibilité du capteur de forces