Eine Ermittlung einer derartigen Zugehorigkeitsfunktion fur eine Abbildung durch ein sogenanntes Radiale-Basisfunktionen- Netz (RBF-Netz) ist aus [1] bekannt.

Ein Radiale-Basisfunktionen-Netz ist ein spezielles vorwartsgerichtetes neuronales Netz, welches eine Abbildung beschreibt, durch die eine EingangsgroRe auf eine Ausgangsgröße abgebildet wird, und welches nur eine Schicht von verdeckten Neuronen besitzt. Ein verdecktes Neuron weist jeweils eine spezielle, radialsymetrische (radiale) Zugehorigkeitsfunktion (Aktivierungsfunktion) auf.

Eine Zugehorigkeitsfunktion bzw. Aktivierungsfunktion ist mathematisch gesehen eine Basisfunktion eines Teilsystems (Teilmodell) eines Systems von Funktionen auf einem Raum (Gesamtmodell). Das Gesamtmodell wird fur eine Abbildung, welche eine Eingangsgröße auf eine Ausgangsgröße in dem Raum abbildet, eingesetzt.

Dabei beschreibt eine Zugehorigkeitsfunktion bzw.

Aktivierungsfunktion eine Zugehorigkeit eines Datenpunkts in dem Raum zu dem entsprechenden Teilmodell.

Das Teilmodell weist ein sogenanntes Zentrum auf, welches ein Datenpunkt in dem Raum ist, fur welchen Datenpunkt die Zugehorigkeitsfunktion ein absolutes Maximum liefert. Mit zunehmendem Abstand eines ausgewahlten Datenpunkts von dem Zentrum verringert sich der Wert der Zugehorigkeitsfunktion fur den ausgewählten Datenpunkt.

Aus [1] ist bekannt, als eine Zugehorigkeitsfunktion eine Gaußfunktion zu verwenden.

Ein RBF-Netz, wie es aus [1] bekannt ist, läßt sich wie folgt beschreiben: Es sei f: Rn-+R eine Funktion von R nach R, die durch N Stutzstellen gegeben ist. Jede Stutzstelle i besteht aus einem n-dimensionalen Eingabevektor Xi= (xil,..., xin) und einem dazugehorigen reellwertigen Funktionswert yieR. Als Interpolationsbedingung gilt: f (Xi) = yi fur alle i= 1,..., N. (1) Das fur eine Approximation verwendete Funktionensystem besteht aus radialsymetrischen Basisfunktionen hi, die jeweils einer Stutzstelle als jeweiligem Zentrum zugeordnet sind. Sie sind wie folgt definiert: hi (X): =f ( !X-Xi!)).(2) Die Basisfunktion hi hat positive skalare Werte. Sie ist nur abhangig von einem Abstand eines Vektors X von der entsprechenden Stutzstelle Xi, die einem Neuron i zugeordnet

ist, in einer beliebigen, vorgegebenen Norm. Meist wird ein euklidischer Abstand zwischen den Vektoren X und Xi im R als Norm verwendet. Damit erhalt man folgende Darstellung fur das RBF-Netz: mit: Ci : Gewichtungsfaktor fur das Zentrum i.

In dieser Darstellung weist die radiale Basisfunktion hi einen Index i auf, weil die radiale Basisfunktion hi jeweils fur ein zugeordnetes Zentrum i unterschiedliche Charakteristika, wie beispielsweise eine Breite oder eine Varianz einer Gaußfunktion, aufweist.

Ferner ist aus [1] ein Verfahren zu einem Training eines RBF- Netzes bekannt.

Aus [2] und [3] ist ein sogenanntes Fuzzy-Clustering- Verfahren. zur Datenanalyse bekannt.

Im Rahmen des Fuzzy-Clusterings werden c Cluster und entsprechende Zugehorigkeiten von Datenvektoren xk derart bestimmt, daH Datenvektoren, die in einem Datenraum nahe bei einem Cluster liegen, eine möglichst hohe Zugehorigkeit und weit von dem Cluster entfernt liegende Datenvektoren xk eine möglichst geringe Zugehorigkeit zu dem jeweiligen Cluster aufweisen.

Dies wird durch Minimierung einer Summe der mit Zugehorigkeiten Ulmk gewichteten quadratischen euklidischen Abstanden dik erreicht. Es soll also eine Menge X von Datenvektoren xk X = ...,xk,...,xn}x2, in c Cluster (Untermengen der Menge von Datenvektoren) gruppiert werden.

Die Cluster werden beschrieben durch eine Zugehorigkeitsmatrix U, welche c Zeilen und n Spalten aufweist. Jedes Element uik der Zugehorigkeitsmatrix U weist einen Wert innerhalb des Intervalls [0,1] auf und beschreibt eine Zugehorigkeit des Datenvektors xk zu dem i-ten Cluster.

Die Summe der Zugehorigkeiten des Datenvektors xk in den c Clustern muB folgender Vorschrift genügen: Ein Cluster muH mindestens ein Element enthalten, so daH gilt: Die Kostenfunktion Jm der Zugehorigkeitswerte wird gemäß folgender Vorschrift gebildet: Ein Abstand dik wird gebildet gemäß folgender Vorschrift:

Es wird mit A eine vorgebbare induzierte Norm des inneren Produkts gemaH Vorschrift (4) bezeichnet, die ublicherweise durch die Identitatsmatrix gegeben ist (Euklidischer Abstand).

Die Minimierung der Kostenfunktion Jm erfolgt unter Einsatz einer sogenannten Picard-Iteration.

Nacheinander werden Zugehorigkeitswerte uik und Clusterzentren vi gemäß folgenden Vorschriften gebildet: Die Ermittlung der Zugehorigkeitswerte uik und der Clusterzentren vi wird solange wiederholt, bis eine festgelegte Anzahl von Iterationen durchgefuhrt worden ist oder bis eine Anderung der Zugehorigkeitswerte uik und/oder bis eine Anderung der Clusterzentren vi unter einem vorgegebenen Schwellenwert liegt.

Bei diesem oben beschriebenen, auch als Fuzzy-C-Means- Clustering bezeichneten Verfahren werden die Cluster durch ihre Clusterzentren vi beschrieben.

Aus [4] ist eine sogenannte Voronoi-Parkettierung zur Bestimmung eines EinfluHbereiches (Voronoi-Zelle) eines zu dem Einflußbereich zugeordneten Clusterzentrums pi bekannt.

Bei der aus [4] bekannten Vorgehensweise wird auf eine Delaunay-Triangulierung zuruckgegriffen.

Die Voronoi-Zelle des Clusterzentrums pi zist durch alle Punkte x definiert, fur die folgende Gleichung erfullt ist: mit: dmin(x, µi) minimaler euklidischer euklidischer Abstand Datenpunkts x zu einem Zentrum. i Laufvariable.

In einem zweidimensionalen Eingangsraum wird eine Voronoi- Zelle durch ein konvexes Polygon begrenzt, das ein zugeordnetes Clusterzentrum pi umschließt. Eine Kante kij des Polygons läßt sich als eine Mittelsenkrechte zu jeweils einem benachbarten Clusterzentrum Aj wie folgt definieren: n* (x-a) = 0 (15) mit: ni xi a =<BR> <BR> 2 x Datenpunkt der Kante kij, welche die i-te Voronoi-Zelle bezuglich der benachbarten j-ten-Voronoi-Zelle begrenzt.

Fur einen mehrdimensionalen Eingangsraum gilt die Gleichung (15) einschlieHlich aller enthaltenen Teilgleichungen entsprechend.

Bei einem dreidimensionalen Eingangsraum ist beispielsweise die fur den zweidimensionalen Eingangsraum eingefuhrte Kante kij eine Ebene. Das konvexe Polygon ist ein konvexes Polyeder.

In einem höherdimensionalen Eingangsraum werden der Begriff Kante durch den Begriff Hyper-Ebene und der Begriff Polygon durch den Begriff Hyper-Polyeder ersetzt.

Eine Abbildung, die ein Systemverhalten eines technischen Systems bzw. Prozesses beschreibt und eine bekannte Zugehorigkeitsfunktion, welche die Abbildung bestimmt, verwendet, weist in vielen Fallen den Nachteil auf, daH die Abbildung das Systemverhalten in vielen Fallen nicht realistisch beschreibt.

Der Erfindung liegt das Problem zugrunde, ein Verfahren und eine Anordnung anzugeben, mit denen eine Zugehorigkeitsfunktion bestimmt werden kann, wobei eine Abbildung, eine Eingangsgröße auf eine Ausgangsgröße unter Verwendung der Zugehorigkeitsfunktion abbildet, dahingehend verbessert wird, daR ein Prozeß, welcher durch die Abbildung beschrieben wird, möglichst realistisch beschrieben wird.

Das Problem wird durch das Verfahren sowie durch die Anordnung mit den Merkmalen gemaH den unabhangigen Patentanspruchen gelost.

Ein Verfahren zur rechnergestutzten Ermittlung einer Zugehorigkeitsfunktion fur einen Datenpunkt zu einem

ausgewahlten Cluster in einem vorgegebenen Raum, welche Zugehorigkeitsfunktion die Zugehorigkeit von dem Datenpunkt zu dem ausgewahlten Cluster beschreibt, weist folgende Schritte auf: a) es wird ein Clustering unter Verwendung vorgegebener Datenpunkte durchgefuhrt ; b) es werden mindestens drei Cluster ermittelt; c) es wird fur jeden Cluster ein zugehoriges Clusterzentrum bestimmt ; d) die Zugehorigkeitsfunktion wird in Abhangigkeit von Abstanden von dem ausgewahlten Clusterzentrum jeweils zu den zu dem ausgewahlten Clusterzentrum nachstbenachbarten Clusterzentren ermittelt.

Eine Anordnung zur rechnergestutzten Ermittlung einer Zugehorigkeitsfunktion fur einen Datenpunkt zu einem ausgewahlten Cluster in einem vorgegebenen Raum, welche Zugehorigkeitsfunktion die Zugehorigkeit von dem Datenpunkt zu dem ausgewahlten Cluster beschreibt, weist einen Prozessor auf, mit dem folgende Verfahrensschritte durchfuhrbar sind: a) es ist ein Clustering unter Verwendung vorgegebener Datenpunkte durchftihrbar ; b) es sind mindestens drei Cluster ermittelbar; c) fur jeden Cluster ist ein zugehoriges Clusterzentrum bestimmbar ; d) die Zugehorigkeitsfunktion ist in Abhangigkeit von Abstanden von dem ausgewahlten Clusterzentrum jeweils zu den zu dem ausgewahlten Clusterzentrum nachstbenachbarten Clusterzentren ermittelbar.

Diese Anordnung ist insbesondere geeignet zur Durchführung des erfindungsgemäßen Verfahrens oder einer seiner nachfolgend erlauterten Weiterbildungen.

Bevorzugte Weiterbildungen der Erfindung ergeben sich aus den abhangigen Ansprüchen.

Bevorzugt wird der Abstand derart berucksichtigt, daH eine Steigung der Zugehorigkeitsfunktion mit einem zunehmenden Abstand des ausgewählten Clusterzentrums zu einem nachstbenachbarten Clusterzentrum zunimmt.

Die Zugehorigkeitsfunktion wird bevorzugt als eine Aktivierungsfunktion verwendet.

Eine verbesserte Beschreibung eines technischen Prozesses durch ein neuronales Netz oder ein Fuzzy-System laRt sich dadurch erreichen, daR die Zugehorigkeitsfunktion mindestens eine erste Teilfunktion und mindestens eine zweite Teilfunktion aufweist.

Bevorzugt wird die Zugehorigkeitsfunktion normiert.

Bevorzugt können die Clusterzentren mittels einer minimalen Euklidische Norm bestimmt werden.

Bei der Beschreibung eines komplexen technischen Systems unter Verwendung eines neuronalen Netzes oder eines Fuzzy- Systems ist der Raum ein mehrdimensionaler Raum.

In einer Weiterbildung werden die Datenpunkte gemessen, wobei die Datenpunkte Arbeitspunkte eines technischen Systems sind.

Bevorzugt ist das technische System ein Stahlwalzwerk.

In einer Weiterbildung werden/wird ein Uberlappungsbereich und/oder Uberlappungsgrad X fur das ausgewahlte Clusterzentrum bezuglich eines zu dem Clusterzentrum nächstbenachbarten Clusterzentrum bestimmt. <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <P>Bevorzugt wird der Uberlappungsgrad k unter Berücksichtigung von dem Abstand des ausgewahlten Clusterzentrums zu einem zu dem Clusterzentrum nachstbenachbarten Clusterzentrums bestimmt.

In einer Weiterbildung wird der Oberlappungsgrad # fur einen zweidimensionalen Raum nach folgender Vorschrift gebildet: <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> +1-αi+1,iαi,i <BR> +1)=#(16)#(µi,µi µi+1µi- mit: µi+1)=Überlappungsgraddesi-tenClusterzentrums#(µi, bezuglich des i+1-ten Clusterzentrums Datenpunkt des i-ten Clusterzentrum Pi+1= Datenpunkt des i+1-ten Clusterzentrum ai, i+1= Grenze eines Uberlappungsbereichs fur das i-te Clusterzentrum bezuglich des i+1-ten Clusterzentrums ai+l, i= Grenze eines Überlappungsbereichs fur das i+1-te Clusterzentrum bezuglich des i-ten Clusterzentrums.

Fur einen mehrdimensionalen Raum wird in einer Weiterbildung der Oberlappungsgrad # nach folgender Vorschrift gebildet: <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> +1,αi,i+1)d(ki,i <BR> <BR> +1)=#(17)#(µi,µi <BR> +1,µ.)d(ki,i <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> i,i+lwl mit: ''4-1Oberlappungsgrad des i-ten Clusterzentrums bezuglich des i+1-ten Clusterzentrums d= Abstand von Datenpunkten zueinander pi= Datenpunkt des i-ten Clusterzentrum pi+1 Datenpunkt des i+1-ten Clusterzentrum ki, i+1= Datenpunkte, die eine Kante zwischen dem i-ten Cluster und dem i+1-ten Cluster bestimmen Datenpunkte des i-ten Clusters, die zu ki, i+1 einen konstanten Abstand aufweisen.

Bevorzugt ist der Cluster eine Voronoi-Zelle.

In einer Weiterbildung wird die zweite Teilfunktion nach folgender Vorschrift gebildet wird: Pi, i+l (x) = 0.5 + 0.5sin (sxoi +) (18) x= Datenpunkt #i, i+1 (x) = zweite Teilfunktion der Zugehorigkeitsfunktion des i-ten Clusterzentrums bezuglich des i+1-ten Clusterzentrums ai, i+1= Grenze eines Uberlappungsbereichs fur das i-te Clusterzentrum bezuglich des i+1-ten Clusterzentrums (Xi+lli= Grenze eines Uberlappungsbereichs fur das i+1-te Clusterzentrum bezuglich des i-ten Clusterzentrums mit der Normierung: <BR> <BR> <BR> x - αi, i+1<BR> .(19)x0i= <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> ai, i+l-ai+l, i Weiterbildungen/Eine Weiterbildung werden/wird bevorzugt fur eine Ermittlung einer Basisfunktion fur ein neuronales Netz und/oder fur die Ermittlung einer Aktivierungsfunktion fur ein Fuzzy-System eingesetzt.

Ferner werden/wird Weiterbildungen/eine Weiterbildung fur die Bestimmung eines Datenpunkts unter Verwendung des neuronalen Netzes und/oder des Fuzzy-Systems eingesetzt.

Bevorzugt wird Weiterbildungen im Rahmen eines Trainings eines neuronalen Netzes eingesetzt. Insbesondere wird eine Weiterbildung bei einem Online-Lernen eines neuronalen Netzes eingesetzt.

Bevorzugt wird eine Ausgestaltung fur eine Oberwachung einer Stahlwalzanlage eingesetzt. Dauber hinaus kann eine weitere

Ausgestaltung fur eine Steuerung einer Stahlwalzanlage eingesetzt werden.

Ausfuhrungsbeispiele der Erfindung sind in Figuren dargestellt und werden im weiteren naher erlautert.

Es zeigen: Figur 1 Schematische Darstellung von Komponenten einer durch ein neuronales Netz bzw. ein Fuzzy-System uberwachten und gesteuerten Stahlwalzanlage Figur 2 Verfahrensschritte fur ein Training des neuronalen Netzes bzw. Fuzzy-Systems Figur 3 Darstellung einer Abbildung durch ein neuronales Netz Figur 4 Darstellung einer Abbildung durch ein Fuzzy-System Figur 5 Darstellung eines durch Voronoi-Zellen geclusterten Eingangsraums Figur 6 Darstellung von zwei benachbarten Voronoi-Zellen Figur 7a, b Darstellung von Sonderbereichen bei benachbarten Voronoi-Zellen In Figur 1 sind schematisch Komponenten einer unter Verwendung eines neuronalen Netzes uberwachten und gesteuerten Stahlwalzanlage zu einer Stahlverarbeitung dargestellt.

Figur 1 zeigt ein System der Stahlwalzanlage 101 zur Stahlverarbeitung (Walzprozeß). Das System der Stahlwalzanlage 101 wird unter Verwendung eines neuronalen Netzes 102 uberwacht und gesteuert. Ein Systemverhalten der Stahlwalzanlage 101 wird durch das neuronale Netzes 102, welches vom Typ Radiale-Basisfunktionen-Netz ist, beschrieben.

Anstelle des neuronalen Netzes 102 kann auch ein Fuzzy-System 110 fur die Uberwachung und die Steuerung der Stahlwalzanlage 101 eingesetzt werden.

Ferner sind geeignete MeRmittel 103, beispielsweise Sensoren 103, dargestellt, mit denen Prozeßgrößen, die den Prozeß der Stahlverarbeitung beeinflussen, gemessen werden. Die Meßmittel 103 sind uber einem Bus 104 mit einem Speicher 105 verbunden. Zu vorgebbaren Zeitpunkten werden die Prozeßgrößen gemessen und in dem Speicher 105 gespeichert.

Die gemessenen Prozeßgrößen sind chemische Prozeßgrößen, wie beispielsweise eine Kohlenstoffkonzentration oder eine Mangankonzentration, eine Endbandtemperatur eines gewalzten Stahlbandes, eine Endbanddicke des gewalzten Stahlbandes sowie eine Walzengeschwindigkeit.

Ferner ist ein weiteres Meßmittel 106 dargestellt, mit dem eine weitere Prozeßgröße, eine Walzkraft, die eine zu uberwachende Grole und eine Steuergröße des Prozesses bzw. des Systems der Stahlwalzanlage 101 ist, gemessen wird. Das weitere Meßmittel 106 ist ebenfalls uber den Bus 104 mit dem Speicher 105 verbunden. Die weitere Prozeßgröße wird ebenfalls an dem System Stahlwalzanlage 101 zu den vorgebbaren Zeitpunkten gemessen und in dem Speicher 105 gespeichert.

Der Speicher 105 ist uber einen weiteren Bus 115 mit einer Verarbeitungseinheit 107, die einen Prozessor 108 aufweist, beispielsweise ein Rechner, verbunden. Das neuronale Netz 102 bzw. das Fuzzy-System 110 ist in Form von Software in der Verarbeitungseinheit 107 gespeichert. Der Prozessor 108 fuhrt die Software aus.

Die Walzkraft ist eine Ausgangsgröße des neuronalen Netzes 102 bzw. des Fuzzy-Systems 110, welches das Systemverhalten der Stahlwalzanlage 101 beschreibt. Die Walzkraft wird aus Eingangsgrößen, die an das neuronale Netz 101 bzw. an das Fuzzy-System 110 angelegt werden, wobei das neuronale Netz 101 bzw. das Fuzzy-System 110 ein vorgebbares Abbildungsverhalten aufweist, bestimmt wird.

Fur die Bestimmung der Eingangsgrößen des neuronalen Netzes 102 bzw. des Fuzzy-Systems 110 werden aus den gemessenen Prozeßgrößen solche Prozeßgrößen ausgewahlt, die den ProzeR der Stahlverarbeitung maHgeblich beeinflussen. Der EinfluR jeweils einer Prozeßgröße auf den ProzeR wird durch eine Sensitivitatsanalyse bestimmt. Es werden folgende Eingangsgrößen ausgewahlt: -Kohlenstoffkonzentration des verarbeiteten Stahls -Mangankonzentration des verarbeiteten Stahls -Endbandtemperatur eines gewalzten Stahlbandes -Endbanddicke des gewalzten Stahlbandes -Walzengeschwindigkeit einer Stahlwalze Die Eingangsgrößen werden an das neuronale Netz 102 bzw. an das Fuzzy-System 110 angelegt. Das neuronale Netz 102 bzw. das Fuzzy-System 110 bestimmt unter Verwendung der Eingangsgrößen die Ausgangsgröße Walzkraft. Die Ausgangsgröße wird an dem neuronalen Netz 102 bzw. an dem Fuzzy-System 110 mittels eines Mittels 108 abgegriffen und uber eine Datenleitung 109, welche das neuronale Netz 102 bzw. das Fuzzy-System 110 mit dem System der Stahlwalzanlage 101 verbindet, an das System der Stahlwalzanlage 101 ubertragen.

Unter Verwendung der Ausgangsgröße Walzkraft wird das System Stahlwalzanlage 101 unter Verwendung geeigneter Mittel 111 uberwacht und gesteuert, wobei durch eine geeignete

Einstellung der Walzkraft eine vorgegebene Endbanddicke des Stahlbandes erzeugt wird.

Die einzustellende Walzkraft wird unter Verwendung des neuronalen Netzes 102 bzw. des Fuzzy-Systems 110 fur eine vorgegebene Endbanddicke des Stahlbandes bestimmt.

Figur 2 zeigt Verfahrensschritte, die im Rahmen eines Trainings des neuronalen Netzes, mit welchem Training ein vorgebbares Abbildungsverhalten bestimmt wird, durchgefuhrt werden.

Die Verfahrensschritte werden entsprechend bei dem Fuzzy- Systems durchgefuhrt.

Fur das Training des neuronalen Netzes werden Trainingsdaten derart ermittelt, daß die ausgewahlten Prozeßgrößen 201 und die Walzkraft 202 an der Stahlwalzanlage zu vorgebbaren Zeitpunkten gemessen, jeweils fur einen Zeitpunkt als ein Trainingsdatenvektor 203 zusammengefaRt und in dem Speicher gespeichert werden 204.

Die Trainingsdatenvektoren werden an das neuronale Netz angelegt 205.

Als eine Targetgröße fur das Training des neuronalen Netzes wird ein unter Verwendung der Ausgangsgröße Walzkraft bestimmter sogenannter Walzkraftkorrekturfaktor ermittelt 206.

Unter Verwendung der Trainingsdatenvektoren und der Targetgröße wird das neuronale Netz mit einem bekannten Trainingsverfahren, wie es in [1] beschrieben ist, trainiert 207.

Das Training des neuronalen Netzes wird bevorzugt im Betrieb der Stahlwalzanlage durchgefuhrt, wobei die Trainingsdaten im Betrieb der Stahlwalzanlage gemessen werden und damit auch Anwendungsdaten fur das neuronale Netz sind. Ein derartiges Training wird als ein sogenanntes Online-Training bezeichnet.

Das Online-Training weist den Vorteil auf, daH eine Anderung in dem Systemverhalten der Stahlwalzanlage ohne grole Zeitverzögerung in dem Abbildungsverhalten des neuronalen Netzes berucksichtigt wird. Eine solche Anderung kann beispielsweise durch eine Abnutzung von einer Komponente der Stahlwalzanlage verursacht werden.

Im folgenden wird ein Abbildungsverhalten eines neuronalen Netzes bzw. eines Fuzzy-Systems, wie es fur eine Oberwachung und ein Steuerung eines Systems eines technischen Systems, beispielsweise das oben beschriebene System der Stahlwalzanlage, eingesetzt wird, naher beschrieben.

Figur 3 zeigt in einer vereinfachten Darstellung eine Abbildung durch ein neuronales Netz.

Fur die vereinfachte Darstellung wird ein eindimensionaler Eingangsraum (x) als ein Eingangsraum des neuronalen Netzes mit einer eindimensionalen Eingangsgröße x verwendet. Im Allgemeinen wird eine Dimension des Eingangsraums durch eine Anzahl von Eingangsgrößen bestimmt. Das oben beschriebene neuronale Netz zur Uberwachung und Steuerung der Stahlwalzanlage weist beispielsweise einen mehrdimensionalen Eingangsraum auf. Die Ausgangsgröße des neuronalen Netzes ist eine eindimensionale Ausgangsgröße y. Damit erfolgt durch das neuronale Netz, das ein Systemverhalten eines technischen Systems beschreibt, eine Abbildung der Eingangsgröße x auf die Ausgangsgröße y in einem Zustandsraum (x, y) 301.

Figur 3 zeigt den Zustandsraum (x, y) 301, in dem das Systemverhalten des Prozesses durch sogenannte Arbeitspunkte 302 des Prozesses, die in Form einer ersten Funktion 312 dargestellt sind, beschrieben ist.

Das neuronale Netz, welches vom einem Typ Radiale- Basisfunktionen-Netz, wie es in [1] beschrieben ist, ist, laUt sich wie folgt darstellen: wobei yi (x) ein gewichtetes i-tes lokales Teilmodell 303 ist, das einem Clusterzentrum pi (Zentrum) 304 zugeordnet ist. Das Zentrum pi 304 wird durch ein Clusteringverfahren, wie es in [2] und [3] beschrieben ist, bestimmt. Das gewichtete lokale Teilmodell yi (x) 303 ist ein Produkt aus einer i-ten normierten Zugehorigkeitsfunktion i (x) und einem i-ten lokalen Teilmodell ci. Bei dem Radiale-Basisfunktionen-Netz ist das i-te lokale Teilmodell ci ein konstanter Gewichtungsfaktor, der dem i-ten Zentrum 304 zugeordnet ist.

Fur die normierte Zugehorigkeitsfunktion des lokalen Teilmodells fi (x) gilt: mit: N : Zahl der Clusterzentren i : Index fur ein Clusterzentrum Ci : Gewichtungsfaktor fur das i-te Zentrum 304

gi : nicht normierte Zugehorigkeitsfunktion (im folgenden verkurzt als Zugehorigkeitsfunktion bezeichnet) Als die Zugehorigkeitsfunktion gi des i-ten lokalen Teilmodells wird eine Formder <BR> <BR> <BR> <BR> 1<BR> gi = exp (-* µi)*(x-µi))(22)- <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> #i22* mit: Ci Varianz der Zugehorigkeitsfunktion gi verwendet.

Die Form der Zugehorigkeitsfunktion gi des i-ten lokalen Teilmodells wird durch die Varianz si bestimmt.

Durch die fest vorgegeben Varianz ai der Zugehorigkeitsfunktion gi ist nur eine unzureichende Beschreibung des Systemverhaltens des Prozesses durch das neuronale Netz moglich.

Eine verbesserte Beschreibung des Systemverhalten durch das neuronale Netz wird dadurch moglich, da8 die Varianz ai der Zugehorigkeitsfunktion gi derart bestimmt wird, daB Abstande von dem Zentrum pi jeweils zu den zu dem Zentrum pi 304 nachstbenachbarten Zentren J. i-i 305 und µi+1 306 bei der Ermittlung der Varianz ai berucksichtigt werden.

Damit werden jeweils fur ein i-tes lokales Teilmodell zwei Varianzen, si, i-1 und si, i+1, bestimmt.

Fur die Zugehorigkeitsfunktion gi ergeben sich somit zwei Unterfunktionen gi, i-1 und gi, i+1, die jeweils dem Zentrumi 304 und dem nachstbenachbarten Zentrum i-i 305 sowie dem Zentrum pi 304 und dem nachstbenachbarten Zentrum pi+1 306 zugeordnet sind.

Die Varianz ai, i-1 und die Varianz si, i+1 werden folgendermaHen bestimmt: cri, i-1 = a * |µi - µi-1|, (für die Unterfunktion gi, i-1) (23) Ci, i+1 = a * |µi - µi+1|, (für die Unterfunktion gi, i+1) (24) wobei ein Formfaktor a beispielsweise den Wert 0.5 aufweist.

Fur ein Zentrum pi 304, welches nur ein nachstbenachbartes Zentrum pi+1 306 oder ein nachstbenachbartes Zentrum J. i-i 305 aufweist, wird die fur das Zentrum pi 304 und jeweils das vorhandene nachstbenachbarte Zentrum i+i 306 bzw. i-i 305 bestimmte Varianz #i, i+1 bzw. si, i-1 fur das gesamte i-te lokale Teilmodell verwendet.

In Figur 4 ist eine Abbildung eines neuronalen Netzes, welches das Systemverhalten des Prozesses beschreibt, vereinfacht dargestellt.

Die Vereinfachung eines Zustandsraums wurde entsprechend den obigen Ausführungen durchgefuhrt.

Figur 4 zeigt den vereinfachten Zustandsraum (x, y) 401, in dem das Systemverhalten des Prozesses durch sogenannte Arbeitspunkte 402 des Prozesses, die in Form einer ersten Funktion 412 dargestellt sind, beschrieben ist.

Das Fuzzy-System, das eine Eingangsgröße x auf eine Ausgangsgröße y abbildet, lat sich wie folgt beschreiben: wobei i (x) eine auf 1 normierte Zugehorigkeitsfunktion 403 (Aktivierungsfunktion) eines i-ten lokalen Teilmodells ist, das einen abgegrenzten Wirkungsbereich 406 aufweist und das einem Clusterzentrum pi (Zentrum) 404 zugeordnet ist. Das Zentrum pi 404 wird durch ein Clusteringverfahren, wie es in [2] und [3] beschrieben ist, bestimmt.

Fur die normierte Zugehorigkeitsfunktion fi (x) 403 und fur den zugeordneten Wirkungsbereich 406 des i-ten lokalen Teilmodells gilt: In einem ersten Bereich 407 des Wirkungsbereichs 406 des i- ten Teilmodells weist die zugeordnete normierte Zugehorigkeitsfunktion i (x) 403 den Wert 1 auf. In dem ersten Bereich 407 liegt jeweils das Zentrum pi 404 des i-ten Teilmodells.

Der erste Bereich 407 umfaUt folgendes Intervall: [αi,i+1],αi,i-1#µi#αi,i+1αi, mit:

ai, i-1= Grenze 408 des ersten Bereichs 407 fur das i-te Clusterzentrum 404 bezuglich des i-1-ten Clusterzentrums 413 ai, i+1= Grenze 409 des ersten Bereichs 407 fur das i+1-te Clusterzentrum 412 bezuglich des i-ten Clusterzentrums 404 In einem zweiten 410 und einem dritten Bereich 411 des Wirkungsbereichs 406 des i-ten Teilmodells, welche auch als Uberlappungsbereiche bezeichnet werden, weisen jeweils die zugeordneten normierten Zugehorigkeitsfunktionen fi (x) 403 Werte aus dem Intervall [0; 1] auf. Dabei hat die normierte Zugehorigkeitsfunktion #i (x) 403 jeweils die Eigenschaft, daS mit einem zunehmenden Abstand von dem Zentrum pi 404 des i- ten Teilmodells die Werte der normierten Zugehorigkeitsfunktionen i (x) 403 auf 0 abfallen. Der Abfall ist um so größer, je geringer ein Abstand zu dem zum Zentrum 404 nachstbenachbarten Zentrum i+i 412 oder Zentrum i-i 413 ist.

Der zweite 410 und der dritte 411 Bereich des i-ten Zentrums sind derart angeordnet, daR der zweite 410 und der dritte 411 Bereich jeweils direkt an den ersten Bereich 407 des Zentrums 404 angrenzen. Dabei ist der zweite Bereich 410 zwischen dem i-1-ten Zentrum 413 und dem Zentrum pi 404 sowie der dritte 411 Bereich zwischen dem Zentrum pi 404 und dem i+1- ten Zentrum 412 angeordnet.

Der zweite Bereich 410 umfaRt folgendes Intervall: αi,i-1],µi-1#αi-1,i,αi,i-1#µi[αi-1,i; mit:

Grenze 414 des ersten Bereichs 407 fur das i-1-te Clusterzentrum 413 bezuglich des i-ten Clusterzentrums 404 Grenze 415 des ersten Bereichs 407 fur das i-te Clusterzentrum 404 bezuglich des i-1-ten Clusterzentrums 413 Der dritte Bereich 411 umfaßt folgendes Intervall: [αi, i+1; αi+1, i], µi#αi, i+1 αi+1, i#µi+1 mit: ai, i+1= Grenze 416 des ersten Bereichs 407 fur das i-te Clusterzentrum 404 bezuglich des i+1-ten Clusterzentrums 412 ai+l, i= Grenze 417 des ersten Bereichs fur das i+1-te Clusterzentrum 412 bezüglich des i-ten Clusterzentrums 404 Fur eine Beschreibung der Uberlappungsbereiche wird jeweils <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> ein sogenannter Uberlappungsgrad # i-1) für den zweiten<BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> 410 und ein Uberlappungsgrad # (i, 1+1) den dritten 411 Bereich bestimmt.

Dabei gilt: X µi-1) = Überlappungsgrad des i-ten Clusterzentrums 404 bezuglich des i-1-ten Clusterzentrums 413 (fur den zweiten Bereich 410) # (µi, µi+1) = Überlappungsgrad des i-ten Clusterzentrums 404 bezuglich des i+1-ten Clusterzentrums 412 (fur den dritten Bereich 411).

Ferner gilt: <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> +1-αi+1,iαi,i <BR> +1)=#(25)#(µi,µi µi - µi + 1 und

αi - 1,i - αi,i - 1<BR> -1)=(26)#(µi,µi 1-µiµi- Außerhalb des Wirkungsbereichs 406 des i-ten Teilmodells weisen jeweils die zugeordneten Zugehorigkeitsfunktionen den Wert 0 auf.

Somit laRt sich die normierte Zugehorigkeitsfunktion i (x) 403 des i-ten Teilmodells wie folgt beschreiben: 1 fur x # [αi, i-1; αi, i+1] =gi,i-1fürx#[αi-1,i;αi,i-1]#i(x) gi,x#[αi,i+1;αi+1,i]für 0 fur x < αi-1, i oder x > αi+1, 1(27) mit: gi, i-l (x) = 0.5 + 0. 5 sin (#x1i + #\2) (28) gi, i+l (X) = 0. 5 + 0. 5 sin (#x0i + #\2) (29) gi, i-l (x) = Zugehorigkeitsfunktion des i-ten Clusterzentrums desi-1-tenClusterzentrums413404bezüglich gi, i+l (x) = Zugehorigkeitsfunktion des i-ten Clusterzentrums 404 bezuglich des i+1-ten Clusterzentrums 412 mit den Normierungen: <BR> <BR> <BR> xoi i+l-1+1,1<BR> <BR> #(30)x0i= <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> αi,i+1 - αi+1,i<BR> αi,i-1x- <BR> (31)x1i= <BR> <BR> ai, i-l-ai-l, i

Die Grenze ai, i+1 409 und Grenze ai, i-1 408 werden wie folgt bestimmt: αi,µi-a*|µi-µi-1|(32)= αi, i+l =i + a * Ii-i+ll (33) wobei ein Formfaktor a beispielsweise den Wert 0.1 aufweist.

Die Grenzen fur die Teilmodelle i-1 bzw. i+1 werden entsprechend bestimmt.

Anhand von Figuren 5,6 und 7a, b wird eine Vorgehensweise beschrieben, wie das oben dargestellte vereinfachte Fuzzy- System fur ein Fuzzy-System, das eine zweidimensionale Eingangsgröße aufweist, angepaßt wird.

Eine eindimensionale Eingangsgröße x wird in einen zweidimensionalen Vektor (x1,x2)T,derEingangsgrößenx1= und x2 umfaUt, geandert. Das Fuzzy-System weist einen dreidimensionalen Zustandsraum (x, y) auf, der einen zweidimensionalen Eingangsraum (x) umfaHt.

Das Fuzzy-System wird wie folgt dargestellt: In [2] und [3] ist beschrieben, wie Clusterzentren fur das Fuzzy-System ermittelt werden.

In Figur 5 ist der zweidimensionale Eingangsraum (x) 501 mit den Clusterzentren pi 502 dargestellt. Ferner zeigt Figur 5 durch Polygone 504 abgegrenzte und jeweils einem Clusterzentrum pi 502 zugeordnete Wirkungsbereiche 503.

Die Wirkungsbereiche 503, die auch als EinfluBbereiche oder Voronoi-Zellen 503 bezeichnet werden, werden durch eine sogenannte Voronoi-Parkettierung, wie sie in [4] beschrieben ist, bestimmt.

Bei dem aus [4] bekannten Vorgehen wird auf eine Delaunay- Triangulierung zuruckgegriffen.

Die Voronoi-Zelle 503 eines Clusterzentrums pi 502 ist durch alle Punkte x definiert, fur die folgende Gleichung erfullt ist: mit: dmin(x, µi) minimaler euklidischer Abstand eines Datenpunkts x zu dem Zentrum u.. 502 i Laufvariable.

In dem zweidimensionalen Eingangsraum 501 wird eine Voronoi- Zelle 503 durch ein konvexes Polygon 504 begrenzt, das ein der Voronoi-Zelle 503 zugeordnetes Zentrum JL. 502 umschließt. Kanten kij 505 des Polygons 504 lassen sich als Mittelsenkrechte zu einem zu dem Zentrum µi 502 benachbarten Zentren t. 506 wie folgt beschreiben: n * (x-a) = 0 (15) mit: n = gjti

n.-n.<BR> <BR> <P>#a= 2 x Datenpunkt der Kante kij 505, welche die i-te Voronoi- Zelle 503 bezuglich der nachstbenachbarten j-ten- Voronoi-Zelle 506 begrenzt.

Entsprechend dem oben dargestellten vereinfachten Fuzzy- System werden jeweils ein ersten, zweiter und dritter Bereich fur ein i-tes Clusterzentrum t1 502 bezüglich eines j-ten Clusterzentrums pj 506 bestimmt.

In Figur 6 sind jeweils ein erster 601 und ein zweiter 602 Bereich entsprechend dem vereinfachten Fuzzy-System fur ein i-tes Clusterzentrum p.. 604 bezuglich eines j-ten Clusterzentrums dargestellt.610 Grenzen eines ersten 601 oder zweiten 602 Bereichs sind jeweils lineare und zu einer Kanten kij 605 der Voronoi- Zelle 606 parallele Polygonzuge 607. Die Polygonzuge 607 werden derart bestimmt, daR alle Punkte einer Grenzlinie ai i+1 608 einen vorgegebenen und konstanten Abstand dαi, i+1 zu der Kante ki, i+1 605, die den Wirkungsbereich 609 der i- ten Voronoi-Zelle 606 gegen den Wirkungsbereich 611 der i+1- ten Voronoi-Zelle 612 abgrenzt, aufweisen.

Der konstante Abstand dai, i+1 wird in Abhangigkeit des Abstandes des i-tes Clusterzentrum µi 604 bezüglich des j- ten Clusterzentrums pi+1 610 ermittelt: =a*|µi-µi+1|(35)dαi,i+1

wobei ein Formfaktor a beispielsweise den Wert 0.5 aufweist.

Entsprechend dem oben dargestellten vereinfachten Fuzzy- System wird ein Uberlappungsgrad #(µi, µi+1) bestimmt.

Dabei gilt: <BR> <BR> <BR> <BR> +1,αi,i+1)d(ki,i <BR> <BR> <BR> <BR> +1)=##(µi,µi <BR> <BR> d d (ki, i + 1, µi) (17) mit: /.,..)=Uberlappungsgrad des i-ten Clusterzentrums 604 bezuglich des i+1-ten Clusterzentrums 610 d()= Abstand von Datenpunkten zueinander <BR> <BR> <BR> ki, i+1= Datenpunkte, die die Kante 605 zwischen der i-ten Voronoi-Zelle 606 und der i+1-ten Voronoi-Zelle 612 bestimmen.

Eine normierte Zugehorigkeitsfunktion fi (x) der i-ten Voronoi- Zelle 606 wird entsprechend der normierten Zugehorigkeitsfunktion eines i-ten Teilmodells, wie es bei dem oben dargestellten vereinfachten Fuzzy-System beschrieben ist, bestimmt.

In Figur 7a) ist ein erster 701 Sonderbereich und in Figur 7b) ist ein zweiter 702 Sonderbereich dargestellt, fur welche eine normierte Zugehorigkeitsfunktion SI (x) und S2 (x) wie folgt bestimmt werden: mit: k Index k=1 bzw. k=2 fur SI (x) bzw. #S2(x)

K Anzahl der fur den Sonderbereich 701 bzw. 702 relevanten Voronoi-Zellen 703, L=3 bzw. L=4 fur SI (x) bzw. #S2(x) ßSl normierte Zugehorigkeitsfunktion fur die k-te relevante Voronoi-Zelle 703 wobei fur die normierte Zugehorigkeitsfunktion Sl (x) fur die k-te relevante Voronoi-Zelle 703 gilt: 0.5sin(#xl+#/2)(37)gl(x)=0.5+ mit: <BR> <BR> <BR> <BR> x-α1,mx1= <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> -m, l-l,m (38) wobei: m Index fur die zueinander nachstbenachbarten Voronoi-Zellen 704 und 705 α1, m, αm,1 Grenzlinie 706 bzw. 707 der l, m-ten Voronoi- Zelle 704 bzw. 705 bezuglich der m, l-ten Voronoi-Zelle 705 bzw. 704 Im folgenden werden Alternativen des Ausfuhrungsbeispiels dargestellt.

Anstelle des im Ausfuhrungsbeispiel beschriebenen Fuzzy- Clustering-Verfahrens kann das Clustering unter Verwendung eines K-Means-Verfahrens (KM) oder durch ein Neural-Gas- Verfahren (NG) erfolgen.

Anstelle des konstanten Gewichtungsfaktors ci fur das i-te lokale Teilmodell kann auch eine beliebige Funktion ci (x), beispielsweise eine lineare Funktion, verwendet werden.

Ferner kann die Erfindung, die bei dem beschriebenen Ausfuhrungsbeispiel fur eine Uberwachung und eine Steuerung einer Stahlwalzanlage eingesetzt wird, auch fur die Uberwachung und Steuerung eines beliebigen technischen Systems, wie beispielsweise eine Papierwickelvorrichtung oder eine Klaranlage eingesetzt werden.

Im Rahmen dieses Dokuments wurden folgende Veröffentlichungen zitiert: [1] Zell, A.,"Simulation Neuronaler Netze", S. 225-240, Addison-Wesley Publishing Company, 1994 [2] J. Hollatz und T. Runkler,"Datenanalyse und Regelerzeugung mit Fuzzy-Clustering, Fuzzy-Systeme in Theorie und Anwendungen", in: Hellendoorn Adamy Prehn Wegmann und Linzenkirchner, Kapitel 5.6, Siemens AG, Nurnberg, 1997 [3] J. C. Bezdek et al,"Detection and Characterization of Cluster Substructure", II. Fuzzy c Varieties and Convex Combinations thereof SIAM Journal on Applied Mathematics, Volume 40, No. 2, Seite 358-370,1981 [4] J. O'Rourke,"Computational Geometry in C", S. 168- 205, Cambridge University Press, 1995