Depuis de nombreuses années, on cherche à construire des modulations adaptées à des canaux fortement non-stationnaires, tels que les canaux de transmission vers des mobiles. Dans de tels canaux, le signal émis est affecté d'évanouissements et de trajets multiples. Les travaux menés par le CCETT dans le cadre du projet européen EUREKA 147 (DAB: Digital Audio Broadcasting, ou Diffusion Audionumérique) ont montré l'intérêt, pour ce type de canaux, des modulations multiporteuses, et en particulier de l'OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing).

L'OFDM a été retenu dans le cadre de ce projet européen comme base de la norme DAB. Cette technique a été également retenue comme modulation pour la diffusion de programmes de télévision (DVB). Cependant, on constate un certain nombre de limitations (précisées par la suite) lorsqu'on aborde le problème de modulations codées à haute efficacité spectrale, telles que celles requises pour les applications de TV numérique.

1.2. Applications possibles L'invention trouve des applications dans de très nombreux domaines, notamment lorsque une haute efficacité spectrale est souhaitée et que le canal est fortement non- stationnaire.

Une première catégorie d'applications concerne la radiodiffusion numérique terrestre, qu'il s'agisse d'image, de son et/ou de données. En particulier, l'invention peut s'appliquer à la diffusion synchrone, qui génère intrinsèquement des trajets multiples de longue durée. Elle s'applique également avantageusement à la diffusion vers des mobiles.

Une autre catégorie d'applications concerne les radiocommunications numériques.

L'invention peut trouver notamment des applications dans des systèmes de communication numérique vers des mobiles à haut débit, dans le cadre par exemple de l'UMTS. Elle peut également être envisagée pour des réseaux locaux radio à haut débit (type HIPERLAN).

Une troisième catégorie d'applications est celle des transmissions sous-marines.

Le canal de transmission en acoustique sous-marine est fortement perturbé du fait de la faible vitesse de transmission des ondes acoustiques dans l'eau. Ceci conduit à un étalement important des trajets multiples et du spectre Doppler. Les techniques de modulation multiporteuses sont donc bien adaptées à ce domaine, et tout particulièrement les techniques objet de la présente invention.

2. Etat de la technique 2.1. Remarques théoriques sur la représentation des signaux Avant de présenter les signaux selon l'invention, on décrit ci-dessous les signaux connus. Cette description repose sur une approche générale des signaux multiporteuses définie par les inventeurs, et nouvelle en elle-même. Cette généralisation n'a en effet aucun équivalent dans l'état de la technique, et n'est nullement évidente pour l'homme du métier. Elle doit donc être considérée comme une partie de l'invention, et non comme appartenant à l'état de la technique.

On s'intéresse à des signaux réels (une grandeur électrique par exemple), à énergie finie, et fonction du temps. Les signaux peuvent donc être représentés par des fonctions réelles de L2 (R). En outre ces signaux sont à bande limitée et leur spectre est contenu dans fc étant la "fréquence porteuse" du signal. On peut donc de façon équivalente représenter un signal réel a(t) par le son enveloppe complexe s(t) avec: s(t) = e-2i#fct FA[a](t) (1) O FA désigne le filtre analytique.

Le signal s(t) appartient à un sous espace vectoriel (caractérisé par la limitation de w<BR> bande à + 2 ) de l'espace des fonctions complexes d'une variable réelle et de carré sommable L2 (R). On peut définir cet espace vectoriel de deux façons différentes, selon

qu'on le construit sur le corps des complexes ou le corps des réels. A chacun de ces espaces, on peut associer un produit scalaire à valeur dans C ou dans R et construire un espace de Hilbert. On appellera H l'espace de Hilbert construit sur le corps des complexes et HR l'espace de Hilbert construit sur le corps des réels.

Les Droduits scalaires corresnondants s'écrivent: dans le cas de H (2) dans le cas de HR (3) Les normes associées sont évidemment identiques dans les deux cas: 2.2. Principes généraux de 1'OFDM Les principes généraux de l'OFDM sont par exemple présentées dans le brevet français FR-86 09622 déposé le 2 juillet 1986. L'idée de base de cette technique est de transmettre des symboles codés comme des coefficients de formes d'ondes élémentaires confinées autant que possible dans le plan temps-fréquence, et pour lesquels le canal de transmission peut être considéré comme localement stationnaire. Le canal apparaît alors comme un simple canal multiplicatif caractérisé par la distribution du module des coefficients, qui suit une loi de Rice ou de Rayleigh.

On assure ensuite la protection contre les évanouissements à l'aide d'un code utilisable en décision pondérée, en association à un entrelacement en temps et en fréquence qui garantit que les symboles intervenant dans la maille minimale du code soient dans toute la mesure du possible affectés par des évanouissements indépendants.

Cette technique de codage avec entrelacement dans le plan temps-fréquence est connue sous le nom de COFDM. Elle est par exemple décrite dans le document [22] (voir annexe 1 (pour simplifier la lecture, la plupart des références de l'état de la technique sont listées dans cette annexe 1. Celle-ci, ainsi que les annexes 2 et 3 doivent bien sûr être considérées comme des éléments à part entière de la présente description)).

ll existe essentiellement deux types de modulations OFDM connues. Les appellations utilisées dans la littérature étant souvent ambiguës, nous introduirons ici des

appellations nouvelles plus précises tout en rappelant la correspondance avec la littérature existante. Nous utiliserons l'appellation générique OFDM, suivi d'un suffixe précisant le type de modulation à l'intérieur de cette famille.

2.3. OFDM(OAM 2.3.1. Principes théoriques Une première catégorie de modulations est constituée d'un multiplex de porteuses QAM (Quadrature Amplitude Modulation), ou éventuellement en QPSK (Quadrature Phase Shift Keying) dans le cas particulier de données binaires. Nous désignerons par la suite ce système sous le nom OFDM/QAM. Les porteuses sont toutes synchronisées, et les fréquences porteuses sont espacées de l'inverse du temps symbole. Bien que les spectres de ces porteuses se recouvrent, la synchronisation du système permet de garantir l'orthogonalité entre les symboles émis par différentes porteuses.

Les références [1] à [7] donnent un bon aperçu de la littérature disponible sur ce sujet.

Pour plus de simplicité dans l'écriture, et selon l'approche nouvelle de l'invention, on représentera les signaux sous leur forme analytique décrite ci-dessus. Dans ces conditions, l'équation générale d'un signal OFDM/QAM s'écrit: Les coefficients am,n prennent des valeurs complexes représentant les données émises. Les fonctions xm, (t) sont des translatées dans l'espace temps-fréquence d'une même fonction prototype x(t): x(t>= Si JZ, < To /2 (6) 0 ailleurs Xm.n(t) = ei(2#mv0t+#)x(t - nT0 ) avec VoTo = 1 (7) # étant une phase quelconque, que l'on peut arbitrairement fixer à 0. La fonction x(t) est centrée, c'est-à-dire que ses moments d'ordre 1 sont nuls, soit: X(f) désignant la transformée de Fourier de x(t).

Dans ces conditions, on observe que: Les barycentres des fonctions de base forment donc un réseau du plan temps fréquence engendré par les vecteurs (X0, 0) et (0, v0). Ce réseau est de densité unité, c'est à dire que v0X0 = 1. On pourra se reporter à l'article [9] pour une discussion plus détaillée sur ce sujet.

La fonction prototype x(t) a ceci de particulier que les fonctions (x,,) sont orthogonales entre elles, et plus précisément constituent une base hilbertienne de L2 (R), soit 1 si(m,n) = (m',n') (Xm,n l Xm',n' ) = (10) 0 0 sinon Projeter un signal sous cette base équivaut simplement à découper le signal en séquences de durée T0 et à représenter chacune de ces séquences par le développement en série de Fourier correspondant. Ce type de décomposition constitue un premier pas vers une localisation à la fois en temps et en fréquence, par opposition à l'analyse de Fourier classique, qui assure une localisation fréquentielle parfaite avec une perte totale de l'information temporelle.

Malheureusement, si la localisation temporelle est excellente, la localisation fréquentielle est beaucoup moins bonne, du fait de la décroissante lente de X(f). Le théorème de Balian-Low-Coifman-Semmes (voir [9], p 976) montre d'ailleurs que si l'on appelle X la transformée de Fourier de x, tx(t) et fX(f) ne peuvent être simultanément de carré sommable.

2.3.2. L'OFDM/OAM avec intervalle de garde D'une manière générale, on peut caractériser la tolérance d'une modulation OFDM vis-à-vis des trajets multiples et de l'étalement Doppler par un paramètre mesurant de

manière globale la variation du niveau d'interférence entre symboles (IES) en fonction d'un décalage en temps ou en fréquence. La justification de ce concept est donnée en annexe 2. Ce paramètre de tolérance est appelé 5 et est défini par la relation: 4 = l/47rAtAf (11) avec: En vertu de l'inégalité de Heisenberg, ff ne peut pas dépasser l'unité.

Compte tenu du théorème de Balian-Low-Coifman-Semmes cité précédemment, le paramètre E vaut 0 pour l'OFDM/QAM. I1 s'agit là d'un défaut important de la modulation OFDM/QAM telle que décrite ci-dessus. Ceci se caractérise en pratique par une forte sensibilité aux erreurs temporelles, et par conséquent aux trajets multiples.

Ce défaut peut être contourné par l'utilisation d'un intervalle de garde décrit par exemple dans [5]. I1 s'agit là d'un artifice consistant à prolonger la fenêtre rectangulaire de la fonction prototype. La densité du réseau des symboles de base est alors strictement inférieure à l'unité.

Cette technique est possible du fait que l'on retrouve à l'intérieur d'un symbole prolongé par un intervalle de garde une infinité de versions translatées du symbole initial.

Bien sûr, ceci ne fonctionne que parce que la fonction prototype est une fenêtre rectangulaire. En ce sens, I'OFDM/QAM avec intervalle de garde constitue un point singulier unique.

La modulation OFDM/QAM avec intervalle de garde est à la base du système DAB. Cet intervalle de garde permet de limiter l'interférence entre symboles, au prix d'une perte de performance, puisqu'une partie de l'information émise n'est pas réellement utilisée par le récepteur, mais sert seulement à absorber les trajets multiples.

Ainsi, dans le cas du système DAB, où l'intervalle de garde représente 25% du symbole utile, la perte est de 1 dB. En outre, il existe une perte supplémentaire, due au fait que pour obtenir une efficacité spectrale globale donnée, il faut compenser la perte due à l'intervalle de garde par un meilleure efficacité du code utilisé.

Cette perte est marginale dans le cas du système DAB, parce que l'efficacité spectrale est faible. Par contre, si l'on vise une efficacité spectrale globale de 4 bits/Hz, il faut utiliser un code à 5 bits/Hz, soit selon le théorème de Shannon une perte de l'ordre de 3 dB. La perte globale est donc dans ce cas d'environ 4 dB.

2.3.3. Autres systèmes OFDM(OAM On peut imaginer d'autres systèmes de type OFDM/QAM. Malheureusement, aucune modulation QAM filtrée (c'est à dire utilisant une mise en forme conventionnelle de type demi-Nyquist (ou, plus exactement, « racine carrée de Nyquist »)), ne vérifie les contraintes d'orthogonalité requises. Les fonctions prototypes connues vérifiant les critères d'orthogonalité requis sont: - la fenêtre rectangulaire; - le sinus cardinal.

Ces deux exemples sont triviaux, et apparaissent duaux l'un de l'autre par transformée de Fourier. Le cas de la fenêtre rectangulaire correspond à 1'OFDM/QAM sans intervalle de garde. Le cas du sinus cardinal correspond à un multiplex fréquentiel classique (c'est-à-dire dont les porteuses ont des spectres disjoints) avec un roll-off de 0%, ce qui constitue un cas asymptotique difficilement réalisable en pratique.

Dans chacun de ces cas, on observe que la fonction prototype est parfaitement bornée, soit en temps, soit en fréquence, mais possède une décroissance médiocre (en 1/t ou 1/f) dans le domaine dual.

Le théorème de Balian-Low-Coifman-Semmes laisse d'ailleurs peu d'espoir que des solutions satisfaisantes puissent exister. Comme indiqué précédemment, ce théorème démontre que tx(t) et fX(f) ne peuvent être simultanément de carré sommable. On ne peut donc pas espérer trouver une fonction x(t) telle que x(t) et X(f) décroissent simultanément avec un exposant inférieur à -3/2.

Ceci n'exclut d'ailleurs pas que puissent exister des fonctions satisfaisantes aux yeux d'un ingénieur. Néanmoins, un article récent [10] traitant de ce sujet exhibe un autre exemple de fonction prototype ayant les propriétés requises. L'allure de la fonction prototype proposée dans cet article est très éloignée de ce que l'on peut souhaiter en terme de concentration temporelle. I1 est donc probable qu'il n'existe pas de solution

satisfaisante de type OFDM/QAM.

En conclusion, l'OFDM/QAM, correspondant à l'utilisation d'un réseau de densité 1 et à des coefficients am,n complexes ne peut être mis en pratique que dans le cas d'une fenêtre temporelle rectangulaire et de l'utilisation d'un intervalle de garde. L'homme du métier cherchant d'autres modulations est donc conduit à se tourner vers les techniques décrites ci-dessous sous le nom d'OFDM/OQAM.

2.4. OFDM/OOAM Une deuxième catégorie de modulations utilise en effet un multiplex de porteuses OQAM (Offset Quadrature Amplitude Modulation). Nous désignerons par la suite ce système sous le nom OFDM/OQAM. Les porteuses sont toutes synchronisées, et les fréquences porteuses sont espacées de la moitié de l'inverse du temps symbole. Bien que les spectres de ces porteuses se recouvrent, la synchronisation du système et le choix des phases des porteuses permet de garantir l'orthogonalité entre les symboles émis par différentes porteuses. Les références [11-18] donnent un bon aperçu de la littérature disponible sur ce sujet.

Pour plus de simplicité dans l'écriture, on représentera les signaux sous leur forme analytique. Dans ces conditions, l'équation générale d'un signal OFDM/OQAM s'écrit: Les coefficients am,n prennent des valeurs réelles représentant les données émises.

Les fonctions xm,n (t) sont des translatées dans l'espace temps-fréquence d'une même fonction prototype x(t): si m + n est pair si m + n est impair (15) avec v0X0 = 1/ 2, p étant une phase quelconque que l'on peut arbitrairement fixée égale à 0.

Les barycentres des fonctions de base forment donc un réseau du plan temps- fréquence engendré par les vecteurs (T0, 0) et (0, v0), tel qu'illustré en figure 2.

Ce réseau est de densité 2. Les fonctions x,nn(t) sont orthogonales au sens du

produit scalaire dans R. Dans les approches connues, la fonction prototype est bornée en fréquence, de telle sorte que le spectre de chaque porteuse ne recouvre que celui des porteuses adjacentes. En pratique, les fonctions prototypes considérées sont des fonctions paires (réelles ou éventuellement complexes) vérifiant la relation suivante: Un choix possible pour x(t) est la réponse impulsionnelle d'un filtre demi-Nyquist 100% roll-off, soit X(f) = cos Si Ifi <v0 (17) 0 ailleurs Lorsqu'on observe x(t) et sa transformée de Fourier, on note que X(f) est à support borné et que x(t) décroît en t-2, c'est à dire un résultat notablement meilleur que la limite théorique découlant du théorème de Balian-Low-Coifman-Semmes. Les formes d'onde élémentaires sont mieux localisées dans le plan temps fréquence que dans le cas de l'OFDM/QAM, ce qui confère à cette modulation un meilleur comportement en présence de trajets multiples et de Doppler. Comme précédemment, on peut définir le paramètre 5 mesurant la tolérance de la modulation au délai et au Doppler. Ce paramètre Ç vaut 0.865.

2.5 OFDM/MSK Une autre solution, décrite dans la demande de brevet FR-95 05455 déposée le 2 mai 1995 (non encore publiée à la date de priorité de la présente demande) aux noms des mêmes déposants que la présente demande, consiste à utiliser une fonction prototype différente. Ladite fonction prototype x(t) est une fonction paire, nulle en dehors de l'intervalle [-X0,xO], et vérifiant la relation: De façon avantageuse, ladite fonction prototype x(t) est définie par: Si = 1 W cos ItIST0 x(t)= ailleurs Cette fonction peut être considérée comme duale par transformée de Fourier de la

fonction prototype utilisée dans le cas de l'OFDM/OQAM. Ce cas particulier est appelé OFDM/MSK. Les performances en terme de résistance au Doppler et aux trajets multiples sont équivalentes à l'OFDM/OQAM, et la réalisation du récepteur est simplifiée.

2.6. OFDM/IOTA Une autre solution, décrite également dans la demande de brevet FR-95 05455 déjà citée, consiste à utiliser une fonction prototype qui n'est ni bornée en temps, ni bornée en fréquence, maisqui possède des propriétés de décroissance rapide à la fois dans le domaine temporel et le domaine fréquentiel. Cette fonction prototype x(t) est caractérisée par l'équation: la fonction y(t) étant définie par sa transformée de Fourier Y(f): où G(f) est une fonction gaussienne normalisée du type: G(f) = (2a)''4e- Dans le cas de la modulation OFDM/IOTA, le paramètre o: est fixé à 1. Dans ce cas, la fonction prototype correspondante, notée S, est identique à sa transformée de Fourier.

La réalisation du récepteur est plus simple que dans le cas de l'OEDM/OQAM, bien que légèrement plus complexe que dans le cas précédent, mais les performances sont sensiblement supérieures.

3. Inconvénients des systèmes connus Ces systèmes connus présentent certains inconvénients et limites, notamment dans les canaux très perturbés, et/ou lorsque une haute efficacité est requise.

3.1. OFDM/OAM Le problème principal du système OFDM/QAM est qu'il nécessite impérativement l'utilisation d'un intervalle de garde. Comme indiqué précédemment, ceci engendre une perte d'efficacité notable lorsque l'on vise de hautes efficacités spectrales.

De plus, les symboles émis sont mal concentrés dans le domaine fréquentiel, ce

qui limite également les performances dans des canaux fortement non-stationnaires. En particulier, cet étalement rend difficile l'utilisation d'égaliseurs.

3.2. OFDM/OQAM A l'inverse, les performances fréquentielles de 1'OFDM/OQAM sont plutôt satisfaisantes et le problème de la perte liée à l'intervalle de garde ne se pose pas. En revanche, la réponse impulsionnelle de la fonction prototype a une décroissance temporelle relativement lente, soit en 1/x2.

Ceci implique deux types de difficultés. Tout d'abord, la forme d'onde peut difficilement être tronquée sur un intervalle de temps court, ce qui implique un traitement complexe au niveau du récepteur. En outre, ceci complique également d'éventuels systèmes d'égalisation.

En d'autres termes, l'efficacité des techniques OFDM/OQAM est supérieure à celle de 1' OFDM/QAM, mais ces techniques s'avèrent plus complexes à mettre en oeuvre, et donc coûteuses, en particulier dans les récepteurs.

3.3. OFDM/MSK La modulation OFDM/MSK présente des performances en terme de résistance au Doppler et aux trajets multiples par rapport à 1'OFDM/OQAM. Ces performances sont inférieures à celles de l'OFDM/IOTA. Par contre la limitation temporelle de la fonction prototype simplifie le récepteur.

3.4. OFDM/IOTA La modulation OFDM/IOTA présente des performances optimales en terme de résistance au Doppler et aux trajets multiples. Par contre, la réalisation du récepteur est plus complexe que dans le cas de l'OFDM/MSK.

4. Présentation de l'invention 4.1 Objectifs de l'invention L'invention a notamment pour objectif de pallier ces différents inconvénients et limitations de l'état de la technique.

Ainsi, un objectif de l'invention est de fournir un signal numérique destiné à être transmis ou diffusé vers des récepteurs, qui permette d'obtenir des performances équivalentes à la meilleure solution connue, soit l'OFDM/IOTA, tout en améliorant la

concentration de réponse temporelle de la fonction prototype, de façon notamment à simplifier le traitement au niveau du récepteur.

L'invention a également pour objectif de fournir un tel signal, permettant la réalisation de récepteurs à complexité et coût limités, en particulier en ce qui concerne la démodulation et l'égalisation.

Un objectif complémentaire de l'invention est de fournir des émetteurs, des récepteurs, des procédés de transmission ou de diffusion, des procédés de réception et des procédés de construction, c'est-à-dire de définition, d'une modulation correspondants à un tel signal.

4.2 Caractéristiques principales de l'invention Ces objectifs, ainsi que d'autres qui apparaîtront par la suite, sont atteints selon l'invention par un signal multiporteuse destiné à être transmis vers des récepteurs numériques, notamment dans un canal de transmission non-stationnaire, correspondant au multiplexage en fréquence de plusieurs porteuses élémentaires correspondants chacunes à une série de symboles, construit sur un réseau temps-fréquence non-orthogonal de densité 2.

Avantageusement, ce réseau est un réseau quinconce, dans lequel, l'espacement entre deux porteuses voisines étant égal à v0, -le temps symbole T0 est égal au quart de l'inverse de l'espacement v0 entre deux porteuses voisines, - les symboles émis sur une même porteuse sont espacés de 2 temps symbole T0.

- les symboles émis sur des porteuses adjacentes sont décalées du temps symbole 7,.

Préférentiellement, chaque porteuse subit un filtrage de mise en forme de son spectre.

Ce filtrage est choisi de façon que chaque élément de symbole soit concentré autant que possible à la fois dans le domaine temporel et dans le domaine fréquentiel.

Notamment, un tel signal peut répondre à l'équation suivante:

où: am,n est un coefficient réel représentatif du signal source, choisi dans un alphabet de modulation prédéterminé; m est un entier représentant la dimension fréquentielle; n est un entier représentant la dimension temporelle; t représente le temps; xmn(t) est une fonction de base, translatée dans l'espace temps-fréquence d'une même fonction prototype x(t) prenant des valeurs réelles ou complexes, soit: xm,n(t) = ei#m,nei(2#mv0t+#)x(t-n#0) avec v0#0 = ¼ avec (pm,n =(m+n+mn+(n2 - m ) 1 2)7r /2 où (p est un paramètre de phase arbitraire, et où lesdites fonctions de base {xm,n} sont orthogonales entre elles, la partie réelle du produit scalaire de deux fonctions de base différentes étant nulle.

Ainsi, l'invention repose sur un système de modulation qui utilise des fonctions prototypes aussi concentrées que possible dans le plan temps-fréquence. L'intérêt de cette approche est de disposer d'une modulation ayant des performances identiques à celle de la modulation OFDM/IOTA, tout en bénéficiant d'une réponse impulsionnelle à décroissance plus rapide.

En d'autres termes, l'invention a pour objet de nouveaux systèmes de modulation construits comme l'OFDM/IOTA sur un réseau de densité 2. La différence essentielle par rapport aux systèmes déjà connus est que le réseau de base est un réseau en quinconce de densité 1/2.

Parmi les modulations proposées, on trouve des modulations utilisant des fonctions prototypes qui ne sont bornés ni en temps ni en fréquence, mais qui présentent par compte des propriétés de décroissance rapide à la fois en temps et en fréquence, et une concentration quasi-optimale dans le plan temps-fréquence.

De tels signaux ne sont nullement évidents pour l'homme du métier, au vu de l'état de la technique. Comme indiqué précédemment, il existe fondamentalement deux modes de construction de modulations de type OFDM.

Le premier mode de construction connu utilise un réseau orthogonal de densité 1.

Cette première solution utilise une base de décomposition des signaux ou tout signal est découpé en intervalles, chaque intervalle étant ensuite décomposé sous forme de série de Fourier. C'est la solution OFDM/QAM. La littérature donne peu d'exemples de solutions alternatives construites sur le même réseau, et les résultats obtenus sont d'un faible intérêt pratique [10].

En outre, la technique OFDM/QAM est la seule qui puisse bénéficier de la méthode de l'intervalle de garde. La solution OFDM/QAM est donc un point singulier qui ne permet pas d'extensions.

Le deuxième mode de construction connue utilise un réseau orthogonal de densité 2. I1 regroupe un ensemble de modulations telles que L'OFDM/OQAM, l'OFDM/MSK et 1'OFDM/IOTA. Ces modulations diffèrent par le choix de la fonction prototype, qui est soit bornée en fréquence (OFDM/OQAM), soit bornée en temps (OFDM/MSK), soit n'est bornée ni en temps, ni en fréquence, mais est à décroissance rapide dans les deux dimensions (OFDM/IOTA).

Par conséquent, la construction de nouvelles modulations qui ne soient pas construits sur de tels réseaux orthogonaux n'est pas évidente.

Toutes les variantes de l'invention décrites ci-dessous présentent l'avantage d'utiliser une fonction prototype à décroissance rapide, de telle sorte que la fonction puisse être aisément tronquée.

Le principe de base consiste à construire une fonction prototype qui présente les propriétés d'orthogonalité souhaitées sur un réseau de type quinconce. La méthode de construction, qui est détaillée en annexe 3, consiste à partir d'un fonction prototype présentant les propriétés d'orthogonalité souhaitées sur un réseau orthogonal et d'effectuer une rotation de 45" dans le plan temps fréquence. L'opérateur qui permet cette rotation n'est pas un opérateur classique. n peut être assimilé à la racine carrée d'une transformée de Fourier, et est noté F1'2. La justification mathématique de cette notation est donnée en annexe 3.

En principe, la méthode peut être appliquée à n'importe quelle fonction prototype qui permet de construire une base hilbertienne sur un réseau orthogonal de densité 1/2. A ce titre, les fonction prototypes de L'OFDM/OQAM, de l'OFDM/MSK sont utilisables.

Elles conduisent toutefois à des résultats qui sont des fonctions complexes. En conséquence, les résultats obtenus ont peu d'intérêt pratique.

Considérons les conditions nécessaires pour que cette méthode de construction conduise à une fonction réelle. Soit une fonction prototype x(t) réelle paire permettant de générer une base hilbertienne sur un réseau orthogonal de densité 2, et la fonction y(t) définie par: y = F1/2X où F"2 est l'opérateur racine carrée de la transformée de Fourier comme défini ci-dessus.

Au niveau des fonctions d'ambiguïté (telles que définies dans l'annexe 2), cet opérateur réalise une rotation d'angle -z/4 dans le plan temps fréquence. Pour que la fonction y(t) soit réelle paire, il faut que sa fonction d'ambiguïté présente une symétrie par rapport aux axes temps et fréquence. Ceci implique donc que la fonction x(t) présente, en sus de la symétrie par rapport aux axes temps et fréquence, une symétrie par rapport aux diagonales du plan temps-fréquence. Une telle propriété ne peut être vérifiée que si la fonction x(t) est identique à sa transformée de Fourier. Or nous ne connaissons actuellement qu'une seule fonction ayant cette propriété, qui est la fonction prototype de 1'OFDM/IOTA, soit #.

On définit donc la fonction IOTA 7t/4 par la relation: Cette fonction est par construction réelle et paire. La fonction d'ambiguïté de cette fonction s'annule donc sur un réseau en quinconce.

L'ensemble des fonctions { #m,n#/4 )défini par: avec constitue une base hilbertienne.

En redéfinissant les indices, on peut réécrire la définition de cet ensemble de la façon suivante: , m+n pair avec (p,=( mn/2+(n2-m2)/4 )#/2 L'invention concerne également un procédé de transmission d'un signal

numérique, notamment dans un canal de transmission non-stationnaire, comprenant les étapes suivantes: - codage canal d'un signal numérique à transmettre, délivrant des coefficients numériques réels am,n choisis dans un alphabet prédéterminé; - construction d'un signal s(t) répondant à l'équation définie ci-dessus; - émission d'un signal ayant pour enveloppe complexe ledit signal s(t) vers au moins un récepteur.

De façon avantageuse, un tel procédé comprend de plus une étape d'entrelacement en fréquence et/ou en temps, appliquée aux éléments binaires formant ledit signal numérique à transmettre ou aux coefficients numériques amn.

Cela permet d'assurer des performances optimales dans des canaux non- stationnaires.

L'invention concerne également les émetteurs d'un tel signal.

L'invention concerne encore un procédé de réception d'un signal tel que décrit ci- dessus, qui comprend les étapes suivantes: - réception d'un signal ayant pour enveloppe complexe un signal r(t) correspondant au signal s(t) à l'émission; - estimation de la réponse du canal de transmission, comprenant une estimation de la réponse en phase Om,n et de la réponse en amplitude Pm n; - démodulation dudit signal r(t), comprenant les étapes suivantes: - multiplication dudit signal r(t) par la fonction prototype x(t); - repliement de la forme d'onde filtrée modulo 2xo; - application d'une transformée de Fourier (FET); - sélection des échantillons pour lesquels m+n est pair - correction de la phase Om,n induite par le canal de transmission; - correction de la phase correspondant au terme e mn; - sélection de la partie réelle du coeeficient obtenu am,n correspondant au coefficient am,n émis pondéré par la réponse en amplitude Pm,n du canal de transmission.

De façon préférentielle, ce procédé de réception comprend une étape de

désentrelacement en fréquence et/ou en temps desdits coefficients numériques réels m,n et, éventuellement, des valeurs correspondantes P,n de la réponse de l'amplitude du canal, ledit désentrelacement étant inverse de un entrelacement mis en oeuvre à l'émission, et/ou une étape de décodage en décision pondérée adapté au codage canal mis en oeuvre à l'émission.

L'invention concerne également les récepteurs correspondants.

Enfin, l'invention concerne également un procédé préférentiel de construction d'une fonction prototype x(t) pour un signal tel que décrit ci-dessus. Ce procédé est présenté dans les annexes jointes.

5. Description de modes de réalisation particuliers de l'invention 5.1. Liste des figures - la figure 1 illustre un réseau de densité 1/2, correspondant à celui mis en oeuvre dans le cas de l'invention; - les figures 2A à 2E illustrent la modulation IOTA-#/4 de l'invention, selon les aspects suivants: , A : la fonction prototype x(t); , B : la transformée de Fourier en linéaire de la fonction prototype; C : le module de la fonction d'ambiguïté en linéaire (telle que définie dans l'annexe 2); D: la fonction d'intersymbole (telle que définie dans l'annexe 2); , E : la décroissance du signal, en échelle logarithmique; - la figure 3 la fonction d'ambigüïté d'une fonction gaussienne; - la figure 4 est un schéma synoptique d'un émetteur (et du procédé d'émission correspondant) utilisable selon l'invention; - la figure 5 est un schéma synoptique d'un récepteur (et du procédé de réception correspondant) utilisable selon l'invention; - la figure 6 illustre plus précisément le procédé de démodulation mis en oeuvre dans le récepteur de la figure 5.

5.2. Principes généraux de l'invention L'invention repose sur une approche tout à fait nouvelle des signaux

multiporteuses du type OFDM/OQAM, construits sur des réseaux temps-fréquence non- orthogonaux de densité 2. Notamment, l'invention propose l'utilisation d'un réseau en quinconce, tel qu'illustré en figure 1, dans lequel seul les emplacements du réseau (définis par les indices m (dimension fréquentielle) et n (dimension temporelle)) tels que m+n soit pair sont utilisés.

En d'autres termes, l'enveloppe complexe d'un signal selon l'invention, utilisant cete répartition dans l'espace temps-fréquence, répond à l'équation suivante: où: am,n est un coefficient réel représentatif du signal source, choisi dans un alphabet de modulation prédéterminé; t représente le temps; xmn(t) est une fonction de base, translatée dans l'espace temps-fréquence d'une même fonction prototype x(t) prenant des valeurs réelles ou complexes, soit: xm,n(t) = ei#m,nei(2#mv0t+#)x(t-n#0) avec v0#0 = ¼ avec #m,n = (m + n + mn + (n² - m²)/2)#/2 où (p est un paramètre de phase arbitraire, et où lesdites fonctions de base { xm,n J sont orthogonales entre elles, la partie réelle du produit scalaire de deux fonctions de base différentes étant nulle.

L'invention concerne également des modulations bien adaptées à de tels réseaux, et notamment la modulation IOTA-#/4.

5.3. La modulation IOTA-7c/4 La modulation OFDM/IOTA résulte d'une approche totalement originale dans le domaine du traitement de signal que nous baptisons transformée IOTA (pour "Isotropic Orthogonal Transform Algorithm"), et décrite en annexe 3 et dans la demande de brevet FR-95 05455 déjà mentionnée.

La modulation IOTA-ac/4 peut être obtenue par rotation de -1tv/4 de cette modulation OFDM/IOTA, ainsi que cela est décrit dans l'annexe 3.

5.3.1. Equation du signal L'équation du signal, et la façon dont elle est obtenue, sont discutée en annexes 3 et4.

5.3.2. Commentaires des figures et avantages liés à la décroissance rapide Afin de mieux mettre en évidence, de façon visuelle, les avantages de l'invention, on présente pour la modulation IOTA-7t/4 (figures 2A à 2E): . A la fonction prototype x(t); . B la transformée de Fourier en linéaire de la fonction prototype; . C le module de la fonction d'ambiguïté en linéaire (telle que définie dans l'annexe 2); . D la fonction d'intersymbole (telle que définie dans l'annexe 2).

La figure 2C permet de juger du confinement dans le plan temps-fréquence de la fonction prototype. La figure 2D de la fonction d'intersymbole permet d'apprécier la sensibilité d'une modulation au délai et au Doppler. Les erreurs de phase ne sont pas considérées, puisque toutes les modulations sont équivalentes sur ce plan.

On pourra comparer ces figures à celles présentées et commentées dans la demandes de brevet déjà citée, pour les autres modulations discutées dans la présente demande de brevet.

La modulation OFDM/IOTA-c/4. Celle-ci présente donc une décroissance rapide (au sens mathématique du terme) en temps et en fréquence, ce qui permet d'envisager l'égalisation dans les meilleurs conditions possibles. Elle présente par ailleurs une symétrie parfaite par rapport à ces deux axes. Sa fonction d'intersymbole est quasiment idéale. D'une manière générale son comportement se rapproche de celui de la gaussienne.

Le paramètre 5 vaut 0.9769.

On peut comparer la fonction d'ambiguïté de la fonction 3 (figure 2C) à celle d'une gaussienne, telle qu'illustrée en figure 3. L'allure générale de ces deux fonctions est très similaire au niveau du sommet. Elles diffèrent par contre à la base.

La figure 2E montre en échelle logarithmique la décroissance en temps du signal IOTA-it/4. On observe que l'amplitude du signal décroît linéairement en échelle logarithmique (en temps et en fréquence, bien sûr, puisque les deux aspects sont

identiques), soit de façon exponentielle en échelle linéaire. Cette propriété permet donc dans une réalisation pratique de tronquer la forme d'onde et de limiter ainsi la complexité du récepteur.

On notera encore que la décroissance de cette modulation est très rapide (linéaire en échelle logarithmique), avec un coefficientt supérieur de 712 à la modulation OFDM/IOTA.

5.4. Principe d'un émetteur La figure 4 présente un synoptique simplifié d'un émetteur d'un signal selon l'invention. Le procédé d'émission s'en déduit directement.

On considère une source binaire à haut débit (typiquement quelques Mégabits/s ou dizaines de Mégabits/s). Par source binaire, on entend une série d'éléments de données correspondant à un ou plusieurs signaux 91 source de tous types (sons, images, données) numériques ou analogiques échantillonnés. Ces données binaires sont soumises à un codage canal 92 binaire à binaire adapté à des canaux évanouissants. On pourra par exemple utiliser un code en treillis (Trellis Coded Modulation), concaténé éventuellement avec un code de Reed-Solomon. Plus précisément, si l'on souhaite une efficacité spectrale de 4 bits/Hertz, on peut utiliser un code de rendement 2/3 associé à une modulation 8AM, prenant 8 niveaux d'amplitude.

Ensuite, conformément au principe exposés dans le brevet FR-88 15216, on répartit (93) ces données codées dans l'espace temps-fréquence de façon à apporter la diversité nécessaire, et à décorréler l'évanouissement (fading) de Rayleigh affectant les symboles émis.

Plus généralement, on effectue un premier codage binaire à binaire, un entrelacement en temps et en fréquence et un codage binaire à coefficients, communément appelé « mapping ». I1 est clair que l'entrelacement peut être indifféremment effectué avant ou après le mapping, selon les besoins et les codes utilisés.

A l'issue de cette opération de codage, on dispose des symboles réels à émettre am,n. Le principe de réalisation du modulateur 94 OFDM/IOTA-x/4 est analogue à celui d'un émetteur OFDM/OQAM. On pourra se référer à [15] pour une description détaillée du système de modulation. Pour construire le signal à émettre, on regroupe les symboles

de même rang n, et l'on calcule: Cette opération peut être avantageusement réalisée sous forme numérique par une transformée de Fourier rapide (FFT) portant sur tous les symboles de même rang n (il est possible de réduire de moitié le nombre de points de la FFT, du fait de la décimation effectuée sur le réseau de l'invention), suivi d'une multiplication de la forme d'onde résultante par la fonction prototype IOTA/4, et enfin d'une addition des symboles de rangs différents (sommation selon l'indice n).

Le signal complexe ainsi généré est alors converti sous forme analogique 98, puis transposé à la fréquence finale par un modulateur 99 à deux voies en quadrature (modulateur I&Q), et enfin amplifié 910 avant d'être émis 911.

5.5. Principe d'un récepteur La figure 5 illustre de façon schématique un récepteur d'un signal selon l'invention (ainsi que le procédé de réception correspondant).

Le récepteur OFDM/IOTA-:::/4 est sensiblement analogue à celui adapté à la modulation OFDM/OQAM. Les étages d'entrée sont conventionnels. Le signal est préamplifié 101, puis converti en fréquence intermédiaire 102 afin de réaliser le filtrage canal 103. Le signal en fréquence intermédiaire est ensuite converti en bande de base sur deux voies en quadrature 105. En outre, on réalise les fonctions de correction automatique de gain (CAG) 104, qui contrôle la préamplification 101.

Une autre solution consiste à transposer le signal en fréquence intermédiaire sur une fréquence porteuse basse, de façon à échantillonner le signal sur une seule voie, la représentation complexe étant alors obtenue par filtrage numérique. Alternativement, le signal RF peut être transposé directement en bande de base (conversion directe), le filtrage canal étant alors réalisé sur chacune des deux voies I&Q. Dans tous les cas, on peut se ramener à une représentation discrète du signal analytique correspondant au signal reçu.

Afin de détailler le traitement numérique en bande de base, nous considérerons une modulation de type multiporteuse caractérisée par équation de l'enveloppe complexe du signal émis:

Soit un canal de transmission caractérisé par sa fonction de transfert variable T(f,t) (voir annexe 2). L'enveloppe complexe du signal reçu r(t) s'écrit: Le démodulateur estime (106) la fonction de transfert T(f,t) par des moyens classiques, qui peuvent par exemple utiliser un réseau de référence de porteuses explicites selon le brevet FR-90 01491. Pour démoduler le signal proprement dit (107), on assimile localement le canal à un canal multiplicatif caractérisé par une amplitude et une phase correspondant à la valeur de T(f,t) pour l'instant et la fréquence considérée. Pour estimer amn(t), le signal reçu est donc assimilé au signal: On Dosera: Le démodulateur effectue donc le traitement suivant: Dans le cas d'un canal stationnaire de fonction de transfert peu0, on retrouve évidemment: am,n = pam,n (36) En pratique, le traitement 107 est effectué sous forme numérique, selon le procédé illustré en figure 6. Le récepteur fonctionne de façon analogue à un récepteur OFDM/OQAM [13-16]. 1l effectue les traitements suivants: - multiplication 111 dudit signal reçu r(t) par la fonction prototype x(t) 112; - « repliement » 113 de la forme d'onde filtrée modulo 2To; - application 114 d'une transformée de Fourier (FFT); - sélection des échantillons pour lesquels m+n est pair (éventuellement effectuée lors de l'application de la FF'T); - correction 115 de la phase Om,n en fonction de l'estimation du canal 116,

comprenant par exemple une estimation Pm,n de la réponse de l'amplitude et une estimation 8 m,n de la réponse de la phase du canal de transmission; - correction 117 de la phase ei#m,n ; - sélection 118 de la partie réelle, pondérée par la réponse de l'amplitude Pm,n Cet algorithme permet donc de calculer globalement tous les coefficients d'un indice n donné. L'ordre de grandeur de la complexité correspondante est approximativement le double de celle de l'algorithme utilisé pour l'OFDM/QAM.

Les coefficients ainsi obtenus sont ensuite désentrelacés 108, symétriquement à l'entrelacement mis en oeuvre à l'émission, puis décodés 109, avantageusement selon une technique de décodage à décision douce, mettant par exemple en oeuvre un algorithme du type de l'algorithme de Viterbi. Si le décodage de canal tient compte de l'estimation de la <BR> <BR> <BR> réponse de l'amplitude du canal P ns les valeurs correspondantes sont également désentrelacées 110. Par ailleurs, le désentrelacement est bien sûr effectué avant ou après le mapping, selon le moment ou l'entrelacement a été mis en oeuvre à l'émission.

L'annexe 4 décrit de façon plus détaillée les opérations effectuées.

ANNEXE 1: REFERENCES [1] M.L. Doeltz, E.T. Heald and D.L. Martin, « Binary data transmission techniques for linear systems » Proceedings of the IRE, pp. 656-661, May 1957.

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ANNEXE 2 1. Modélisation du canal 1.1. Modèle général On peut considérer un canal dispersif comme un système linéaire ayant une réponse impulsionnelle variable dans le temps. n existe deux façons de définir cette réponse impulsionnelle, On s'inspirera largement des conventions proposées dans [21]: . la réponse impulsionnelle à l'entrée (Input Delay Spread Function) g(t,l)définie par: où s(t) et r(t) représentent respectivement les signaux émis et reçus la réponse impulsionnelle en sortie (Output Delay Spread Function) h(t,) définie par: On a évidemment h(t,#) = g(t + #,#). h(t,) représente la réponse impulsionnelle du canal à l'instant t. Munis de ces conventions, nous pouvons définir les fonctions caractéristiques suivantes: la fonction d'étalement délai-Doppler U(n,v) (Delay-Doppler Spread Function) caractérisée par: avec la fonction d'étalement Doppler-délai V(v,T) (Doppler-Delay Spread Function) caractérisée par: avec On a tout simplement: V(v,#) = ei2#vtU(#,v) la fonction de transfert variable (Time-Variant Transfert Function) T(f,t) caractérisée par:

avec On retrouve donc la même équation que dans le cas d'un canal stationnaire, la différence étant simplement que la fonction de transfert devient variable dans le temps. Cette fonction de transfert T(f,t) est la transformée de Fourier bidimensionnelle de U(T,v), soit: Dans tous les cas, nous considérerons que U(,v) est à support borné, ce qui permet de représenter la fonction de transfert T(f,t) par un réseau de valeurs discrètes en vertu du théorème d'échantillonnage.

1.2. Le modèle délai-Doppler statique Le modèle délai-Doppler est défini par l'équation: Cette équation fait apparaître le canal comme une somme de canaux élémentaires caractérisés par une amplitude, une phase, un offset temporel et un offset fréquentiel.

Aussi est-il légitime de s'intéresser au comportement des différentes modulations en présence de ce type de canal, que nous baptiseront délai-Doppler statique.

L'équation du canal s'écrit alors sous la forme simplifiée suivante: Z (t) = Aei#s(t - 2. Performances de l'OFDM dans les canaux non-stationnaires 2.1. Cas général Considérons une modulation multiporteuse OFDM de type quelconque (OFDM/QAM, OFDM/OQAM ou OFDM/IOTA) caractérisée par l'équation générique: ak étant des variables réelles, E étant un réseau bidimensionnel de densité 2 dans l'espace temps-fréquence, les fonctions xk(t) étant des translatées en temps et en fréquence d'une même fonction prototype x(t), et qui constituent une base hilbertienne de L'(R).

xk(t) = ei#@x(t-#k)e2i#vkt,k#E On notera qu'aucune hypothèse n'est faite sur la structure du réseau E. Dans le cas particulier de l'OFDM/QAM, ce réseau se décompose en deux sous-réseaux co-localisés

avec des phases en quadrature.

L'opération de démodulation s'écrit: étant une phase estimée par le démodulateur et r(t) le signal reçu. On peut donc écrire: Or: On en déduit que: La valeur optimale de est celle qui maximise ân, soit: Bien que générales, les équations ci-dessus ne sont guère manipulables. Elles montrent cependant que le signal utile et l'intersymbole apparaissent comme des intégrations de la fonction d'ambiguïté pondérée par la fonction d'étalement délai-Doppler.

2.2. Cas du canal statique Si l'on s'intéresse à un canal de type délai-Doppler statique, caractérisé par une phase 0, un retard 5 et un offset v (on normalisera à 1 l'amplitude A), on effectue la démodulation de manière similaire en introduisant dans l'estimateur un paramètre de phase . Le résultat de cette opération s'écrit:

Le signal démodule s'écrit donc finalement: Le deuxième terme représente l'interférence entre symboles (IES). Si l'on considère les données ak comme des variables aléatoires indépendantes de variance a2, la variance I de l'IES s'écrit: Or les coefficients ck sont les coefficients de la décomposition de la fonction et(#-#)e-2i#v(i+#)xn (t + T), de norme unité, sur la base hilbertienne des fonctions xk(t). On a donc: En d'autres termes, la variance du signal reçu est constante et se répartit entre le signal "utile" cnan et l'intersymbole, de variance I=(l-cn2)C2. Le calcul du coefficient cn donne: O Axn(#,v) représente la fonction d'ambiguïté de x, (voir également annexe 3), soit: Finalement, on peut écrire: On considérera que la phase de démodulation # s'écrit sous la forme #opi+ AQ, où Op, est la phase de démodulation qui minimise l'IES, c'est-à-dire qui maximise cn, soit: Alors, la variance de l'IES s'écrit simplement: Lorsque la fonction prototype est paire, (ce qui correspond au cas de la méthode de construction de bases hilbertiennes décrite dans le texte principal), la fonction d'ambiguïté est réelle, et on a donc:

I = (1 - Ax2 V) cos2 ))a2 Ce résultat est tout à fait remarquable, puisqu'il démontre que la sensibilité au délai et au Doppler de toute modulation multiporteuse ne dépend que de la fonction d'ambiguïté de sa fonction prototype. On appellera par la suite fonction d'intersymbole (par abus de langage, pour fonction d'interférence entre symboles) normalisée la fonction dans le cas général), qui représente la valeur quadratique moyenne de l'intersymbole normalisée par la valeur quadratique moyenne des données dans le cas d'une estimation de phase optimale.

3. Analvse comparative des différents types d'OFDM 3.1. Limites théoriques Nous nous intéressons ci-après aux propriétés de la fonction d'intersymbole normalisée.

On constate que la sensibilité d'une modulation multiporteuse est directement liée au comportement de la fonction d'ambiguïté de la fonction prototype correspondante au voisinage de (0,0). Le problème posé est tout à fait analogue aux problèmes d'incertitude rencontrés dans le domaine radar, et on pourra se référer à la littérature abondante sur le sujet (voir par exemple [22]). Sans perte de généralité, on peut choisir la fonction x(t), par une translation temporelle et fréquentielle adéquate, de telle sorte que ses moments d'ordre un soient nuls, soit: Dans ces conditions, on vérifie aisément que les dérivées partielles du premier ordre s'annulent: On peut caractériser le comportement de la fonction d'ambiguïté autour de (0,0) à partir des dérivées partielles de second ordre:

On posera Considérons le développement de Taylor-Young de la fonction d'ambiguïté en (0,0): On en déduit le développement de Taylor-Young de la variance de l'intersymbole soit: On en déduit que la fonction d'intersymbole Is admet à l'origine un cône tangent d'équation: L'intersection de ce cône avec le plan z = 1 (intersymbole maximum) délimite une surface de contour elliptique dont l'aire # peut être considérée comme une mesure de la sensibilité au délai et au Doppler. Lorsque µx est nul, cette ellipse a pour axes de symétrie les axes temporel et fréquentiel, et s'étend de #1/2##f selon l'axe temporel et +1/2rcAtselon l'axe fréquentiel. On a donc: En vertu de l'inégalité de Heisenberg, 5 ne peut pas dépasser l'unité. Ce résultat se généralise au cas où µx est différent de 0. Considérons la fonction y(t) obtenue en multipliant la fonction x(t) par une wobulation:

On peut donc écrire: Il est donc toujours possible d'annuler ,uy en choisissant Q de façon appropriée. Or l'opération de multiplication par une wobulation réalise un simple changement d'axes de la fonction d'ambiguïté associée, avec conservation des aires. On en déduit le paramètre 5 est donc toujours compris entre 0 et 1.

Ce résultat est extrêmement important, puisqu'il permet de comparer les perfomlances de toutes les MCM dans des canaux dispersifs à partir d'un paramètre unique. On constate donc que ces performances ne dépendent que de la concentration de la fonction prototype associée. L'optimum est atteint virtuellement par la gaussienne, mais cet optimum est inaccessible, puisque les gaussiennes ne permettent pas de construire une base hilbertienne.

3.2. Le cas particulier de l'OFDM avec intervalle de tarde Les modulations OFDM construites à partir d'un réseau de densité l constituent un cas dégénéré: en raison du théorème de Balian-Low-Coifman-Semmes, le paramètre 5 est alors nul. Ce résultat est d'ailleurs totalement général, et s'applique quel que soit la structure du réseau des barycentres des fonctions de base. En effet, on peut toujours, à partir des opérateurs de wobulation temporelle, de transformée de Fourier et d'homothétie, se ramener à une structure orthogonale quelconque, pour laquelle le théorème de Balian-Low-Coifman-Semmes s'applique. Or ces trois opérateurs ne réalisent que des changements d'axes de la fonction d'ambiguïté, avec conservation des aires. On en déduit que le paramètre Ç est nul pour toutes les modulations de ce type.

La modulation OFDM/QAM n'échappe pas à cette règle. Dans ce cas, le paramètre f est infini, ce qui conduit à une très forte sensibilité aux décalages temporels (la fonction d'intersymbole présente une tangente verticale selon l'axe temporel). Cependant, l'OFDM/QAM dispose d'un "joker" dont ne dispose aucun autre type d'OFDM, et qui réside dans le fait que l'on retrouve à l'intérieur d'un symbole prolongé par un intervalle de garde une infinité de version translatées du symbole initial. Ce caractère unique fait que

I'OFDM/QAM est réellement un point singulier dans l'ensemble des MCM complexes.

L'intervalle de garde crée une plage de non-intersymbole qui permet artificiellement de transformer le cône tangent à la fonction d'intersymbole (en l'occurrence totalement aplati dans le sens temporel, en un prisme dont l'intersection avec le plan z = 1 est un rectangle non dégénéré, c'est à dire dont l'aire est non-nulle. On pourra se reporter à la figure 3 pour mieux comprendre l'effet de l'intervalle de garde. Naturellement, l'utilisation d'un intervalle de garde fait que nous sortons du cadre des démonstrations précédentes, et que la limitation à l'unité de cette aire ne s'applique plus. Par contre on peut comparer l'OFDM avec intervalle de garde à une modulation MCM optimale virtuelle (avec # = 1), et se demander quel intervalle de garde permet de retrouver un # apparent identique.

Considérons une modulation OFDM construite à partir de la fonction prototype x(t): x(t) = - Si || t TO /2 0 ailleurs On vérifie immédiatement que #t² = #02/12. Par conséquent, I'intersection du prisme tangent à la fonction d'intersymbole avec le plan z = 1 est limité dans le sens fréquentiel à + To. Admettons que l'on cherche à limiter à -10 dB le niveau dintersymbole.

Pour une modulation optimale, avec # = 1, l'aire de la zone d'intersyrnbole inférieure à - 10 dB est 'de l'ordre de 0.1. Pour obtenir un résultat équivalent avec une modulation OFDM avec intervalle de garde, il faut que l'intervalle de garde ## soit tel que AT x (2W3/ ##0) /#10 = 0.1, soit AT =0.287 To. Cette valeur est tout à fait considérable et illustre bien le prix qu'il faut payer pour faire fonctionner un système OFDM dans des conditions défavorables de délai et de Doppler.

ANNEXE 3 1. Introduction Cette annexe donne l'ensemble des démonstrations qui attestent de l'existence de transformées temps-fréquence symétriques vis-à-vis des axes temporel et fréquentiel. En ce sens, ces transformées présentent une forte analogie avec la transformée de Gabor, qui est caractérisée par une parfaite isotropie dans toutes les directions du plan temps-fréquence. Bien que l'isotropie de ces nouvelles transformées ne soit qu'approximative, nous les qualifieront d'isotropes par abus de langage. La différence essentielle par rapport à la transformée de Gabor est que ces transformées sont strictement orthogonales, qui permet d'envisager leur application au domaine des transmissions numériques. En effet, l'orthogonalité de la transformée garantit la consen'ation des métriques euclidiennes, ce qui constitue une propriété essentielle dans un canal comportant du bruit additif gaussien.

Les systèmes de modulation résultant de cette approche utilisant des algorithmes de transformée orthogonale isotrope (Isotropic Orthogonal Transform Algorithms), nous les avons baptisés systèmes de modulation "IOTA".

2. Fonction d'ambiguïté Les études sur la fonction d'ambiguïté ont été par le passé largement motivée par les développement des techniques Radar. Ce chapitre rappelle les principales propriétés de cette fonction, et décrit différents opérateurs agissant sur cette fonction.

2.1. Rappels sur la fonction d'ambiouïté 2.1.1. Définitions Soit une fonction x(t) et sa transformée de Fourier X(f). On peut lui associer ses produits temporel et fréquentiel définis respectivement par: La transformée de \Vigner-Ville et la fonction d'ambiguïté de x sont alors données par: 2.1.2. Propriétés de svmétrie de la fonction d'ambiguïté Soit une fonction x(t). On notera respectivement par x et x les fonctions définies de la manière suivante: On a alors les relations: soit, en posant u = -t:

On en conclut en particulier que si une fonction x est paire, c'est à dire que x = x', sa fonction d'ambiguïté est réelle. Par ailleurs, on notera la relation suivante: En combinant ces deux relations, on obtient: Ax(#,v) = Ax(#,-v) 2.1.3. Fonction d'ambiguité et transformée de Fourier On peut réécrire la définition de la fonction d'ambiguïté de la façon suivante: ou encore Ax(T,V) = Ax(-v,#) 2.1.4. Fonction d'ambiguïté et translation temps fréquence Considérons une fonction translatée d'une fonction prototype x(t) quelconque, soit: xk = ei#ke2i#vit@x(t - #k) La fonction d'ambiguïté associée s'écrit: soit, en posant u = t - #k: 2.2. Orthogonalité et fonction d'ambiguïté 2.2.1. Cas général On considère deux fonctions translatées d'une même fonction x(t), soit: xk = ei#ke2i#vkt(t - #k)

xk' = ei#k'e2i#vk-1x(t - #k') Le produit scalaire de ces deux fonctions s'écrit: soit, en posant u = t - (#k + #k)/2:

3. Bases hilbertiennes sur des réseaux orthogonaux 3.1. Principes généraux de construction On considère un ensemble de fonctions xm,nJ défini par: xm,n(t) = ei(m+n)x/2e2ixmvetx(t - n#0) avec v0#0 = ½ On cherche les conditions sur x(t) pour que cet ensemble {xm,n} 1} constitue une base hilbertienne de HR. On imposera que x(t) soit une fonction paire, dont la fonction d'ambiguïté Ax est donc réelle.

Le produit scalaire dans R de xm,n et de xm',n peut s'écrire On notera la relation de congruence modulo 2: (m - m') + (n - n') + (m - m')(n + n') # 1 - (m - m' + 1)(n - n' + 1) Par conséquent, si (m,n) # (m',n') modulo 2, le produit scalaire est nul. Le réseau {xm,n} peut donc se décomposer en quatre sous-réseaux caractérisés par: (m pair, n pair},{m pair, n impair},{m impair n pair},{m impair, n impair).

L'orthogonalité entre fonctions appartenant à des sous-réseaux différents est donc automatique, et ne dépend pas des propriétés de la fonction prototype, dès l'instant où celle-ci est paire.

I1 reste ensuite à garantir que les fonctions d'un même sous-réseau soient orthogonales entre elles. I1 suffit pour cela que la fonction d'ambiguïté Ax vérifie: Ax(2n#0,2mn0) = 0 #(m,n) # (0,0) On constate donc que le problème de la construction de bases hilbertiennes de HR sur un réseau orthogonal de densité 2 se ramène à celui de la construction d'une fonction prototype paire dont la fonction d'ambiguïté s'annule sur un réseau de densité 1/2.

3.2. Méthodes d'orthogonalisation

3.2.1 Orthogonalisation temporelle Définition: Soit une fonction x(t) de transformée de Fourier X(f). On appelle Ot l'opérateur d'orthogonalisation temporelle qui associe à x(t) une fonction y(t) définie par sa transformée de Fourier Y(f): Par construction, on a: soit, par transformée de Fourier inverse: soit encore Ay(2n#0,0) = 0 #n # 0 et Ay(0,0) = On réalise donc bien l'orthogonalisation sur l'axe temporel.

Soit x une fonction gaussienne et y = O,x. Considérons l'expression: Puisque X est une gaussienne, on peut écrire: X(f+ mv0)X (f- mvO) = cmllX(f)ll où cm est une constante. On en déduit que: #y(f,2mv0) = cm#y(f,0) Par transformée de Fourier inverse, on obtient: Ay(#,2mv0) = cmAy(#,0)

Par conséquent: #m, #n # 0 Ay(2n#0,2mv0) = 0 L'opérateur d'orthogonalisation temporelle Ot orthogonalise done l'ensemble du réseau, à l'exception de l'axe des fréquences.

Théorème 1 Soit x une fonction gaussienne et y = Otx, alors: #m, #n # 0 Ay(2n#0,2mv0) = 0 3.2.2. Orthogonalisation fréquentielle Définition Soit une fonction x(t). On appelle Of l'opérateur d'orthogonalisation fréquentielle qui associe à x(t) une fonction y(t) définie par: Par construction, on a: soit, par transformée de Fourier: soit encore Ay(0, 2mv0) = 0 # m # 0 et Ay(0,0) = On réalise donc bien l'orthogonalisation sur l'axe fréquentiel.

Soit x une fonction gaussienne et z = Ofy, avec y = Otx. Considérons l'expression:

On peut donc écrire: γz(t,2n#0) = γy(t,2n#0)P(t) où P(t) est une fonction périodique de période lo, qui admet un développement en série de Fourier du type Par transformée de Fourier, on obtient: Or De plus, par construction, #m#0, Ax(0,2mv0) = 0 On a donc finalement: e(m, n) -- (0, 0) , Az(2n#0,2mv0) = 0 Ainsi, la fonction d'ambiguïté de z s'annule en dehors de (0,0) pour tous les multiples de 2#0 et de 2vo, soit un réseau de densité 1/2.

Théorème 2 Soit x une fonction gaussienne et z = OfOtx, alors: #(m, n) # (0, 0), Az(2n#0,2mv0) = 0 3.3. L'opérateur d'orthogonalisation O Au vu de ce qui précède; il apparaît clairement qu'il existe une échelle temps-fréquence qui symétrise l'écriture des équations: II suffit pour cela de choisir To = v0 = 1/ . On renormalisera donc les échelles en conséquence, sans que cela nuise a la généralité des démonstrations.

3.3.1. Définition

On appelle O l'opérateur d'orthogonalisation qui associe à une fonction x la fonction y définie par: En outre, on appellera par la suite F l'opérateur de transformée de Fourier.

3.3.2. Idempotence de l'opérateur O Soit z = Oy et y = Ox. On peut écrire: On a donc OOx = Ox, ce qui démontre l'idempotence de l'opérateur O.

De la même façon, l'opérateur dual F-'OF est également idempotent, puisque F-1OFF-1OF = F 1OOF = F-IOF.

3.3.3. Lemme Soit P une fonction périodique de période /W et D une distribution de la forme: Soit x une fonction quelconque: Lemme 1

Soit P une fonction périodique de période 1/#2 et D une distribution de la forme Soit x une fonction quelconque. On a: D * (P x)=P (D * x) 3.3.4. Lemme2 Soit la fonction y définie par y = D * x ,avec xa =(2α)¼ e-xαu², et D étant une distribution de la forme On peut donc écrire: Soit za =Oyα On a: La somme sous la racine peut s'écrire: Soit encore, par application du résultat donné en annexe: puis, en réorganisant les indices et en redéfinissant k comme k + k' + k": On peut donc écrire: Par conséquent:

avec: Posons On a: z a = c0PaYα =c0Pα(D * xα) , soit, par application du lemme 1: Zα =c0 D * (Pa xα) Finalement, on peut écrire: O[D * xα] = c0 D * Oxa Lemme 2 Soit x une gaussienne et D une distribution de la forme alors: O[D * x] = c0 D * Ox , où c0 est une constante positive 3.3.5. Commutativité des opérateurs O et F-OF Nous allons maintenant démontrer que les opérateurs O et F-1OF commutent lorsqu'ils sont appliqués à une gaussienne.

Soit xa = (2α)14 e..aU Alors Fxα = x1/α et Oxα = Pαxα Compte tenu du caractère périodique de Pα, sa transformée de Fourier Da peut s'écrire: Considérons la fonction za, résultat de l'orthogonalisation de yα par O, y, étant le résultat de l'orthogonalisation de Na par F-'OF. On a donc: zα = OF-1OFxα On notera par ailleurs que:

pour toute fonction réelle paire x, F-1x = Fx si c est une constante positive, O[cx] = Ox , pour toute fonction réelle paire x(u), Ox , Fx et F-1x sont des fonctions réelles paires Compte tenu de ces remarques, on peut écrire: OF-1OFxα = OF-1Ox1/α = OF-1[P1/αx1/α] = O[D1/α * xα] Par application du lemme 2: O[D1/α* xα] = c1 D1/α * Oxα = c1 D1/α * (Pαxα) cl étant une constante positive. On en déduit que: OF-1OFxα =c1 D1/α * (Pαxα) De la même façon, on peut écrire: F-1OFOxα = F-1OF[Pαxα] = F-1O[Dα * x1/α] Par application du lemme 2: O[Dα * x1/α] = c2 Dα * Ox1/α = c2 Dα * (P1/αx1/α) c2 étant une constante positive. On en déduit que: F-1OFOxα = c2 F-1[Dα* (P1/αx1/α)]= c2 Pα (D1/α * xα) Or, par application du lemme l: D1/α* (Pαxα) = Pα (D1/α * xα) On a donc: c2 OF-1OFxα = c1 F-1OFOxα Or OF-1OFxα et F-1OFOxα sont toutes deux de norme unité, et sont donc égales.

Théorème 3 Pour toute fonction gaussienne x, les opérateurs O et F-IOF commutent, soit: OF-1OFx = F-1OFOx Corrolaire 1

Soit zα = OF-1OFxα, avec xα =(2α)¼ e-#αu , alors Fzα = z1/α Démonstration: Fzα = FF-1OFOxα = OF-1Oxα = OF-1OFx1/α = z1/α Cas particulier remarquable Fz1 = z1 Cette fonction particuliere confere une parfaite symétrie aux axes temps et fréquence, et constitue donc la fonction prototype de la transformée IOTA (Isotropic Orthogonal Transfonin Algorithm). On notera cette fonction particulière I.

Corrolaire 2 Soit x une fonction gaussienne et z = OF-'OFx, alors Oz = z Démonstration: Oz = OOF-1OFx = OF-'OFx = z Corrolaire 3 Soit x une fonction gaussieline et z = OF-lOFx, alors F-1OFz = z Démonstration: F-1OFz=F-1OFF-1OFOx=F-1OOFOx=F-1OFOx=z 3.3.6. Fonction d'ambigu té des fonctions z Considérons le théorème 2, avec la normalisation T0 = #0 = 1/#2.Alors: Of = O et Ot = F-1OF Par conséquent, le théorème 2 peut se réécrire: Théorème 4 Soit x une fonction gaussienne et z = F-1OFOx, alors:

4. Généralisation à des réseaux quelconques Nous avons jusqu'ici considéré des bases hilbertiennes construites sur un réseau orthogonal de densité 2. Nous nous intéressons dans ce chapitre à des bases hilbertiennes construites sur un réseau quelconque de densité 2.

4.1. Principes généraux de construction De façon analogue à ce qui a été démontré pour les réseaux orthogonaux, nous montrons dans ce paragraphe comment construire une base hilbertienne sur un réseau quelconque de densité 2 à partir d'une fonction prototype dont la fonction d'ambiguïté s'annule sur un réseau de densité 1/2.

Considérons un réseau quelconque de densité 2, généré à partir des vecteurs de base (#1,#1) et (#2,#2) avec |#1#2 - V2T11 = 1/2. Par convention, on choisira l'ordre des vecteurs de base de telle sorte que #2#1 - #1#2 = ½. On considère une fonction x(t) telle que: Ax(2n#1+2m#2.2n#1+2m#2) = 0 dont la fonction d'ambiguïté s'annule donc sur un réseau de densité 1/2.

Considérons l'ensemble des fonctions {xm,n} définies par: xm,n(t) = ei#m,ne2i#(n#1+m#2)tx(t-(n#1+m#2)) Calculons le produit scalaire <xm,n|xm',n'>, soit: <xm,n|xm',n'> = ei(#m,n-#m',n')ei#Ax((n'-n)#1+(m'-m)#2),(n'-n)#1+(m'-m)#2) avec # = #((n-n')#1 + (m-m')#2)((n+n')#1 + (m+m')#2)= <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> #((n²-n'²)#1#1+(m²-m'²)#2#2+2(mn-m'n')#1#2+(m-m')(n+n')( #2#1-<BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> Or #2#1-#1#2=½.

En posant #m,n =#(n²#1#1+m²#2#2+2mn#1#2), on obtient donc: # = #m,n-#m',n'+(m-m')(n+n')#/2

Posons #m,n=(m+n)#/2 - #m,n . Le produit scalaire (xm,n|xm',n')R finalement: R s'n.t Re[ei((m+n)-(m'+n')+(m-m')(n+n'))#/2Ax((n'-n)#1+(m'-m)#2),(n '-n)#1+(m'-m)#2)] La fonction d'ambiguïté de x étant réelle, on s'intéressera à son coefficient. On retrouve ]e même terme de phase que dans le cas d'un réseau orthogonal. Par conséquent, si (m, n) (m',n') modulo 2, le produit scalaire est nul. Dans le cas contraire, il est également nul en raison de l'hypothèse faite sur la fonction d'ambiguïté de x.

<BR> <BR> <BR> On dispose donc d'une méthode générale pour construire des bases hilbertiennes<BR> <BR> <BR> sur des réseaux quelconques dans le plan temps-fréquence. Il reste donc à construire des fonctions prototypes dont la fonction d'ambiguité présente les propriété requises.

4.2. Changement de coordonnées dans le plan temps- fréquence Nous avons déjà rencontré jusqu'à présent des opérateurs dont l'action pouvait être aisément interprétée dans le plan temps-fréquence, tels que les opérateurs d'orthogonalisation, qui créent des points d'annulation de la fonction d'ambiguïté sur un réseau orthogonal de densité 1/2. Nous nous intéressons ci- après à de nouveaux opérateurs, qui effectuent des changements de coordonnées dans le plan temps-fréquence. Ces opérateurs permettent de transformer une fonction prototype dont la fonction d'ambiguïté s'annule sur un réseau orthogonal de densité 1/2 en une fonction prototype dont la fonction d'ambiguïté s'annule sur un réseau quelconque de densité 1/2.

Soit un opérateur T qui associe à une fonction x la fonction y = Tx telle que: Ay((#,#)'M#)=Ax(#,#) MT étant une matrice dont le déterminant est égal à 1.

L'opérateur T réalise donc un changement de coordonnées dans le plan temps fréquence caractérisé par la matrice MT 4.3. Opérateurs de base.

4.3.1.Opérateur de transformée de Fourier

Nous avons vu précédernrnent que si X est la transformée de x, soit X = Fx, on avait la relation: Ax(#,-#)=Ax(#, #) La matrice caractéristique correspondante s'écrit donc: Cette matrice correspond à une rotation de -#/2 dans le plan temps fréquence.

4.3.2. Opérateur de déphasage Considérons l'opérateur de déphasage P# qui associe à une fonction x la fonction y telle que: y(t) = eiex(t) On a évidemment: Ay(#,#)=Ax(#,#) et par conséquent Mp@ = I, I étant la matrice identité.

4.3.3. Opérateur d'homothétie L'opérateur d'homothétie HY est l'opérateur qui associe à une fonction x(t) lá fonction y(t) définie par: y étant le facteur d'homothétie considéré.

On a donc: Soit u = t / y . Si y est positif:

Si y est négatif: Dans les deux cas, A y(#,#)=Ax(#/γ,γ#)soit: Ay(γ#,#/γ) = Ax (T, V) par conséquent 4.3.4. Opérateur de wobulation Une méthode simple pour modifier la fonction d'ambiguïté d'une fonction consiste à la multiplier par un signal de wobulation. On appelle W l'opérateur de wobulation temporelle qui associe à une fonction x(t) la fonction y(t) définie par: y(t)= On peut alors écrire: γy(t,#)=y(t+#/2)y.(t-#/2)=x(t+#/2)x.(t-#/2)e2i# #t=γx(t,#)e2i# #t Soit, par transformée de Fourier: ou encore: Ay(#, #+ #)=Ax(#, #) par conséquent 4.4. Groupe des opérateurs temps fréquence On considère l'ensemble des opérateurs qui peuvent être engendres par une conjuguaison finie d'opérateurs de base décrits ci-dessus. On notera tout d'abord que si y = Tx = TlT2 ...Tnx, alors on a aussi: MT = MT1MT2 ...MTn

De façon évidente, cet ensemble muni du produit défini comme la conjuguaison des opérateurs possède une structure de groupe.

4.4.1. Règles de base pour la multiplication des opérateurs La multiplication des opérateurs obéit aux règles suivantes: F4 =I F² = H-1 <BR> <BR> P#P#' = P#+#'<BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> HγHγ' = Hγγ' W W ' = W + ' Par ailleurs, F² et P# commutent avec touts les autres opérateurs. Enfin on notera les relations suivantes: Soit u'= u / γ. Si y est positif: Si y est négatif: Dans les deux cas, on a donc H«F = FH1/γ.

De la même façon: On a donc HγW = W /γ²Hγ 4.4.2. Extension du "Chirp Transform Algorithm" Les règles décrites ci-dessus permettent de commuter tous les opérateurs entre eux, à l'exception de la transformée de Fourier et de l'opérateur de

wobulation. Les règles permettant de commuter ces derniers opérateurs sont plus complexes et peuvent être extrapolées à partir de l'algorithme "Chirp Transform".

On considère ici une relation liant les opérateurs F, 'V et H. Soit #t(u)=#(u-t). Les opérateurs considérés étant linéaires, leurs propriétés peuvent être analysées en considérant leur action sur les distributions 8,, en vertu de la relation: On a: On a donc finalement: FW1/ F = P#/4W- FW-1/ H 4.4.3. Décomposition canonique Soit un élément de l'ensemble des opérateurs défini ci dessus. Si cet élément ne comporte aucun opérateur F, on peut, en utilisant les régles données en 4.4.1, le réduire sous la forme: T = P#HγWα Si cet élément ne comporte qu'un seul opérateur F, on peut, en appliquant les mêmes règles, le réduire sous la forme: T = P#HγWαFW

Si cet élément comporte au moins deux opérateurs F, on peut le réduire sous la forme: T = P#HγWαFW 1...FW n En appliquant la règle donnée en 4.4.2, on peut éliminer de façon itérative les opérateurs F et obtenir finalement une représentation n'en comportant qu'un seul. En résumé, tous les éléments du groupe peuvent s'écrire sous l'une des deux représentations données ci-dessus.

Soit T un élément du groupe s'écrivant sous le premier type de représentation. Sa matrice caractéristique s'écrit: Soit T un élément du groupe s'écrivant sous le deuxième trpe de représentation. Sa matrice caractéristique s'écrit: Inversement, soit une matrice IsIT quelconque de déterminant unité. On peut lui associer un opérateur décrit sous sa représentation canonique: avec ad - bc = Si c = 0, on peut associer à cette matrice un opérateur de premier type, avec: Si c w 0, on peut associer à cene matrice un opérateur de deuxième type, avec: Notons qu'il subsiste évidemment une indétermination totale en ce qui conceme O.

4.5. Construction d'une base hilbertienne sur un réseau quelconque Les méthodes qui ont été décrites ci-dessus donnent une méthode générale de construction d'une base hilbertienne sur un réseau quelconque. Considérons un réseau quelconque de densité 2, généré à partir des vecteurs de base (#1,#1) et (#2,#2) avec V2T1 - V1T2 =1/2. On considère une fonction x(t) telle que: La fonction x peut en pratique être la fontion prototype de l'OQAM, OMSK ou l'une quelconque des fonctions obtenues par orthogonaisation de gaussiennes, comme indiqué au chapitre 3, et en particulier la fonction IOTA.

Soit T un opérateur de matrice caractéristique MT défini par: et y = Tx.Alors, #(m,n)#(0,0): Considérons l'ensemble des fonctions {ym,n J définies par: ym,n(t) = ei#m,ne2i#(n#1+m#2)ty(t-(n#1 +m#2)) avec #m,n = (m+n)#/2 -#(n²#1#1 +m²#2#2 +2mn#1#2) Conformément à ce qui a été démontré en 4.1., l'ensemble des fonctions { ym,n } constitue une base hilbertienne. On dispose donc d'une méthode générale pour construire des bases hilbertiennes sur des réseaux quelconques dans le plan temps-fréquence.

5. Construction de bases hilbertiennes en quinconce Bien que la méthode générale décrite ci-dessus présente un intérêt académique évident, son application pratique révèle certaines difficultés. D'une part, dans le cas général, les algorithmes de démodulation sont sérieusement compliqués par la structure oblique du réseau des fonctions de base. Par ailleurs, la fonction prototype obtenue est généralement complexe, ce qui accroit encore la complexité.

On peut donc légitimement se demander si cette généralisation présente un quelconque intérêt pratique. L'objet de ce paragraphe est d'apporter une réponse complète à cette question.

Considérons l'ensemble des bases hilbertiennes générées selon la méthode exposée ci-dessus. On cherche, à l'intérieur de cet ensemble, les bases hilbertiennes dont la fonction prototype est réelle paire. La fonction d'ambiguïté présente alors les symétries suivantes: On a donc Ax(#,#)=Ax(-#,#)=Ax(-#,-#)=Ax(-#,#). Ces symétries de la fonction d'ambiguïté ne peuvent être obtenues que si le réseau d'annulation de cette fonction présente les mêmes symétries. Or ces conditions ne sont vérifiées que pour deux types de réseaux: le réseau orthogonal sur lequel sont basées toutes les modulations considérées jusqu'à présent, et le réseau en quinconce.

Le réseau orthogonal est engendré par les vecteurs de base (Tl,vl) =(1/W,o) et (12,v2)=(0,1/Ji) Le réseau en quinconce, engendré par les vecteurs (T1,v1) =(½,-½) et (T2,v2)=(l/2,l/2). On passe d'un réseau à l'autre par une rotation d'angle -7t/4. C'est pourquoi nous

accorderons ci-après un intérêt tout particulier aux opérateurs qui réalisent une rotation dans le plan temps-fréquence.

5.1. Sous-groupe des opérateurs de rotation temps fréquence On considère l'ensemble des opérateurs dont la matrice caractéristique est une rotation dans le plan temps-fréquence: Nous avons déjà tu que l'opérateur de transformée de Fourier Fcorrespondait à une rotation d'angle #=-#/2, tandis que l'opérateur F3 = F-l correspondait à une rotation d'angle (p = x /2.

Considérons un opérateur de la forme: P#FWαHγFW Sa matrice caractéristique s'écrit: En posant y = -cosup et a = = tg#, on obtient une matrice de rotation d'angle (p. Le paramètre e reste indéterminé. Pour lever cette indétermination, on imposera que cet opérateur laisse invariante la fonction gaussienne x(u) = e U, soit:

On appelle (P,,odr désignant la valeur comprise entre -7t/2 et 7;/2 congrue à (p modulo 7r. On peut donc écrire: Finalement, on peut écrire: p-#mod@/2FWtg#H-cos#FWtg#x(u)=x(u) Définition: On appelle R#l'opérateur de rotation dans le plan temps-fréquence d'angle cp défini par: si # # -#/2 modulo 2#<BR> <BR> <BR> <BR> <BR> si # # # /2 modulo 2# sinon Soit un nombre réel a. On définit également la puissance fractionnaire de l'opérateur Fpar la relation: Fα = R-α#/2 L'ensemble d'opérateurs ainsi défini possède une structure de groupe commutatif isomorphe au groupe des rotations du plan. La notation d'exposant de l'opérateur Fvérifie toutes les propriétés <<habituelles » d'un exposant.

5.2. IOTA #/4 Considérons une fonction prototype x(t) réelle paire permettant de générer une base hilbertienne sur le réseau orthogonal, et la fonction y(t) définie par: y = F½x

où FlQ est l'opérateur racine carrée de la transformée de Fourier connue défini ci-dessus. Au niveau des fonctions d'ambiguïté, cet opérateur réalise une rotation d'angle -#/4 dans le plan temps fréquence. Pour que la fonction y(t) soit réelle paire, il faut que sa fonction d'ambiguite présente une symétrie par rapport aux axes temps et fréquence. Ceci implique donc que la fonction x(t) présente, en sus de la symétrie par rapport aux axes temps et fréquence, une symétrie par rapport aux diagonales du plan temps-fréquence. Une telle propriété ne peut être vérifiée que si la fonction x(t) est identique à sa transformée de Fourier. Or nous ne connaissons qu'une seule fonction ayant cette propriété, qui est la fonction IOTA.

On définit la fonction IOTA ;v/4 par la relation: ##/4 = F½# Cette fonction est par construction réelle et paire. La fonction d'ambiguité de cette fonction s'annule donc sur le réseau en quinconce engendré par les vecteurs (T1,V1) =(l/2,-1/2) et (#2,#2)=(½,½). Conformément à 4. 1., on en déduit que l'ensemble des fonctions défini par: avec #m,n = (m+n-mn-(m²-n²)/2)#/2 constitue une base hilbertienne.

En redéfinissant les indices, on peut réécrire la définition de cet ensemble de la façon suivante: ,m+n pair avec #m,n = (m- mn/2+(n²-m²)/4 )#/2

6. Annexe On notera l'identité: (u-a)2 +(u-b)2 =2u2 -2au-2bu+a²+b²= Soit une fonction gaussienne normalisée x définie par: x(u)=(2α)¼e-#αu Le produit x(u - a)x(u - b) peut donc s'écrire: Finalement, on peut écrire:

ANNEXE 4 1. Du continu au discret Dans les deux chapitres précédents, nous avons considéré des fonctions de L2(R). En pratique, le traitement numérique des signaux suppose que l'on passe dans le domaine discret.

1.1. Généralités Les signaux utilisés dans la pratique sont toujours considérés comme limités à la fois dans le domaine temporel et le domaine fréquentiel, bien que cette hypothèse soit une impossibilité théorique notoire. On peut toutefois contourner cet obstacle et représenter des signaux par un ensemble fini de valeurs discrètes en appliquant la méthode suivante: Supposons que nous nous intéressions à un signal complexe x(t) quelconque dans un espace limité à [O,T] dans le domaine temporel et à [-NV/2,\V/2J dans le domaine fréquentiel. On se restreindra au cas où le produit ZUT est entier. On peut associer à ce signal un vecteur xde coordonnées xp avec: ,p variant de 0 à WT-1 La sommation selon l'indice q effectue un repliement temporel et "périodise" donc le signal dans le temps, tandis que l'échantillonnage "périodise" le signal en fréquence.

Soit y(t)=x(t)e2i#mt/T On peut écrire:

On notera que ce résultat parfaitement "naturel" n'est obtenu qu'au prix d'un choix particulier de la fréquence de modulation, qui élimine tous les problèmes de repliement. De la même façon, si l'on considère une translation du type y(t) = x(t - n /W), on peut écrire: D'une manière générale, le choix de structures d'échantillonnage temporel et fréquentiel qui soient respectivement mutiples de 1/W et de 1/T garantit un repliement harmonieux des signaux, et permet une écriture dans le domaine discret qui soit directement équivalente à celle du domaine continu.

Considérons enfin le produit scalaire de deux vecteurs x et y. On peut écrire: Posons p = n +q'T et q = q' -q" 1.2. La tranformée IOTA On s'intéressera ici à une première transformée dérivant des résultats obtenus dans le chapitre "l'approche théorique", et basée sur la fonction IOTA.

1.2.1.La transformée IOTA dans le domaine continu

On considère ici une transformée "normalisée", c'est à dire construite sur la base du réseau de type (n/É2,m/Y2)décrit précédemment. On pourra toujours se ramener à cette situation par l'action préalable de l'opérateur d'homothétie adéquat. Soit la base hilbertienne {#m,n } définie par: avec #m,n =(m+ On notera que l'on peut alternativement choisir la formulation suivante: si m + n pair si m + n impair cette modification correspondant à une éventuelle inversion de signe des fonctions de base. La transformée IOTA d'un signal s(t) de transformée de Fourier S(f) est alors définie par les relations: les transformées inverses étant données par: 1.2.2. La transformée IOTA discrète Choisissons T égal à Na et W égal à MX . Ce choix garantit l'absence de problèmes de repliement. Considérons une fonction de base #m,n. On peut lui associer le vecteur #m,n de coordonnées #m,n,p avec:

Soit un produit scalaire du type (#m,n|#m',n')R Compte tenu des propriétés d'orthogonalité des translatées temps-fréquence de la fonction IOTA, ce produit scalaire est nul si (m,n) $ (m' n') mod (2M, 2N). En ce qui concerne la norme des vecteurs Smns on peut écrire: Compte tenu de ces observations on peut définir la transformée IOTA discrète de la façon suivante: Définition de la transformée IOTA Soit M et N deux entiers quelconques. On considère 4MN vecteurs de dimension 2MN, orthogonaux au sens du produit scalaire réel, et définis de la façon suivante: #m.n.p =ei#m,nei#mp/M#p-nM m variant de 0 à 2M-1, n de 0 à 2N-1 et p de 0 à 2MN-1 Soit s un vecteur complexe de dimension 2MN. On peut le décomposer sous la forme: p @ variant de 0 à 24N - 1, avec:

La matrice {am,n J est la transformée IOTA du vecteur s.

1.3. La tranformée IOTA 7t/4 1.3.1,La tranformée IOTA n14 dans le domaine continu On considère ici une transformée "normalisée", c'est à dire construite sur la base du réseau normalisé de type quinconce décrit précédemment. On pourra toujours se ramener à cette situation par l'action préalable de l'opérateur d'homothétie adéquat. Soit la base hilbertienne { } } définie par: #m,n#/4(t) = ei#mnei#mt##/4 (t - n/ 2) , m + n pair avec #m,n =(n- mn/2+(n²-m²)/4 )#/2 On vérifie aisément que l'on peut alternativement choisir la formulation suivante: si m+n#0 modulo 4, met n pair si m+n-2 modulo 4, met n impair si m+n-2 modulo 4, m et n pair si m+n#0 modulo 4, m et n impair cette modification correspondant à une éventuelle inversion de signe des fonctions de base. La transformée IOTA x/4 d'un signal s(t) de transformée de Fourier S(f) est alors définie par les relations: les transformées inverses étant données par:

1.3.2. La transformée IOTA #/4 discrète Choisissons T égal à 2N et \M égal à 21\f . Ce choix garantit l'absence de problèmes de repliement. Considérons une fonction de base #m,n#/4. On peut lui associer le vecteur #m,n#/4 de coordonnées #m,n,p#/4 avec: Soit un produit scalaire du trpe Compte tenu des propriétés d'orthogonalité des translatées temps-fréquence de la fonction IOTA, ce produit scalaire est nul si (m, n) # (m',n') mod (2M, 2N). En ce qui concerne la norme des vecteurs #m,n#/4, on peut écrire: Compte tenu de ces observations on peut définir la tranformée IOTA #/4 discrète de la façon suivante: Définition

Soit 1,4 et N deux entiers quelconques. On considère S1,4N vecteurs de dimension 4MN, orthogonaux au sens du produit scalaire réel, et définis de la façon suivante: m variant de 0 à 4M-1, n de 0 à 4N-1 avec m+n pair et p variant de 0 à 4MN-1 Soit s un vecteur complexe de dimension 4MN On peut le décomposer sous la forme: p p variant de O à 4MN - 1, avec: La matrice {am,n } est la transformée IOTA #/4 du vecteur s.

2. Les algorithmes rapides de démodulation 2.1. Démodulation par transformée IOTA rapide On considère une modulation de type multiporteuse IOTA caractérisée par l'équation du signal émis: Soit un canal de transmission caractérisé par sa fonction de transfert variable T(f,t). Le signal reçu r(t) s'écrit: Le démodulateur optimal estime la fonction de tranfert T(f,t) par des moyens qui ne sont pas décrits à ce stade . Pour démoduler le signal proprement dit, on assimile localement le canal à un canal multiplicatif caractérisé par une amplitude et une phase correspondant à la valeur de T(f,t) pour l'instant et la fréquence considérée. Pour estimer amn, le signal reçu est donc assimilé au signal: On posera: Le démodulateur effectue donc le traitement suivant: Dans le cas d'un canal stationnaire de fonction de transfert pe je, on retrouve évidemment: mn = Pamn En pratique, le traitement est effectué sous forme numérique. On obtient:

On pose alors p = k + 2Mr, k variant de 0 à 2M-1 et r de 0 à N-1: Cette équation montre que l'on peut utiliser un algorithme rapide de démodulation comportant les traitements suivants: . préfiltrage du signal reçu par la fonction prototype repliement de la forme d'onde filtrée modulo 2M FFT de dimension 2M points complexes correction de la phase #m,n + (Pm.n sélection de la partie réelle Cet algorithme permet donc de calculer globalement tous les coefficients d'un indice n donné. L'ordre de grandeur de la complexité correspondante est approximativement le double de celle de l'algoritlm1e utilisé pour l'OFDM.

2.2. Démodulation par transformée IOTA s/4 rapide On considère une modulation de type multiporteuse IOTA a/4 caractérisée par l'équation du signal émis: m+n pair Comme précédemment, le démodulateur effectue le traitement suivant: En pratique, le traitement est effectué sous forme numérique. On obtient:

On pose alors p = k + 4Mr, k variant de 0 à 4M-1 et r de 0 à N-1: Cette équation montre que l'on peut utiliser un algorithme rapide de démodulation comportant les traitements suivants: préfiltrage du signal reçu par la fonction prototype 3n/4 repliement de la forme d'onde filtrée modulo 4N4 FFT de dimension 4M points complexes. En pratique, il suffit de calculer selon la parité de n les points pairs ou impairs. Cette FFT partielle s'effectue en décimant d'un rapport 2 les échantillons après le premier banc de papillons, ce qui équivaut à un simple préfiltrage complémentaire (somme ou différence d'échantillons). On se ramène alors à une FFT de dimension 2M points.

correction de la phase #m,n +#m,n sélection de la partie réelle Cet algorithme permet donc de calculer globalement tous les coefficients d'un indice n donné. L'ordre de grandeur de la complexité correspondante est approximativement le double de celle de l'algorithme utilisé pour l'OFD4.