Verfahren zur Erzeugung von Sinus-bzw. Cosinusschwingungen sind in der Nachrichtentechnik und in der Computertechnik für die verschiedensten Zwecke bekannt. Außerdem sind auch Schaltungsanordnungen bekannt, die die Sinus-und Cosinusschwingungen erzeugen. Verschiedene Möglichkeiten derartige Schwingungen zu erzeugen sind in dem Buch von U.

Tietze, Ch. Schenk,"Hableiterschaltungstechnik", Springer Verlag 1980, beschrieben. In der Nachrichtentechnik sind auch sogenannte Tschebyscheffsche Filter bekannt, die auf dem Tschebyscheffschen Polynom n-ten Grades definiert durch Tn (cos (cp))-Cos (ncp), beruhen.

Die Tschebyscheffschen Polynome sind zum Beispiel beschrieben in I. Schur,"Arithmetisches über die Tschebyscheffschen Polynome", Gesammelte Abhandlungen Vol.

III, Seiten 422 bis 453, Springer Verlag 1973.

Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, ein Verfahren und eine Schaltungsanordnung zur Erzeugung von Sinus-/Cosinus- schwingungen zu schaffen, die mit einfachen und leicht zu kombinierenden Bausteinen die Sinus-/Cosinusschwillgungs- erzeugung in universeller und prinzipiell einfacher Weise in Modultechnik mit Hilfe der Tschebyscheffschen Polynome ermöglichen.

Die erfindungsgemäße Lösung für das Verfahren zur Erzeugung von Sinus-/Cosinusschwingungen ist im Kennzeichen des Patentanspruches 1 charakterisiert.

Die erfindungsgemäße Lösung für die Schaltungsanordnung zur Erzeugung von Sinus-/Cosinusschwingungen ist im Kennzeichen des Patentanspruches 3 charakterisiert.

Weitere Merkmale bzw. Ausgestaltungen der Erfindung sind in der Beschreibung, im Patentanspruch 2 für das Verfahren und in den Patentansprüchen 4 bis 6 für die Vorrichtung angegeben.

Das erfindungsgemäße Verfahren und die erfindungsgemäße Vorrichtung haben den Vorteil, daß sie zur Erzeugung von Sinus-/Cosinusschwingungen eine modulare Schaltungstechnik ermöglichen, indem Tschebyscheff Polynome in diesen Modulen implementiert sind. Dies ist insbesondere in der Halbleitertechnik durch entsprechende strukturierte Chips realisierbar. Die Tschebyscheffschen Polynome sowie die zur schaltungstechnischen Implementierung erforderlichen Multiplizierer, Summierer und Addierschaltungen lassen sich in integrierter Schaltungstechnik in Modulbauweise realisieren, wobei dann je nach äußerer Verdrahtung die unterschiedlichsten gewünschten Sinus-/Cosinusschwingungen von diesen Modulen erzeugt werden können. Derartige Bausteine in Modultechnik lassen sich durch die modularen Schaltungsstrukturen sehr leicht kombinieren und in bereits vorhandene Schaltungsstrukturen integrieren.

Die Erfindung wird im folgenden anhand von in der Zeichnung dargestellten Ausführungsbeispielen näher beschrieben. In der Beschreibung, in den Patentansprüchen, der Zusammenfassung und in der Zeichnung werden die in der hinten angeführten Liste der Bezugszeichen verwendeten Begriffe und die zugeordneten Bezugszeichen verwendet.

In der Zeichnung bedeuten : Fig. 1 eine Schaltungsanordnung zur Realisierung von Tnm(x) Fig. 2 eine Schaltungsanordnung zur Realisierung von Fig. 3 eine Schaltungsanordnung zur Realisierung von T. (x) ; Fig. 4 eine Schaltungsanordnung zur Realisierung von T, (x) und Fig. 5 eine Dreieckschwingung als Eingangsgröße für die genannten Schaltungen.

Zunächst soll das Grundsätzliche der hier beschriebenen Methode zur Realisierung in Schaltungsmodulen beschrieben werden. Zur Realisierung wird auf ein entsprechendes Tschebyscheff Modul zurückgegriffen, das heißt auf Schaltungsbausteine, die das Tschebyscheffsche Polynom Tn (x) realisieren, wobei To (x) = 1, T1(x) = x, Tn+1 = 2xTn (x) - Tn-1(x). Die Sinus-bzw. Cosinusschwingungen werden durch Anlegen einer dreieckförmigen Schwingung (Fig. 5) der Amplitude a = sin (v/(2n)) an ein Tschebyscheffmodul Tn (x) erhalten gemäB der Gleichung (1) sin (x) f ür n--1 mod 4 -cos(x) für n # 2 mod 4 Tn(x/n) #Tn(sin(x/n)) =# -sin(x) für n # 3 mod 4 cos(x) für n # 0 mod 4 Der hierbei auftretende Fehler, der sich leicht berechnen lä#t, wird nicht-monoton kleiner für größer werdendes n.

Für n = 2, 3, 4, 5 beträgt der maximale Fehler ca. 15, 2%, 1, 2%, 4, 0% sowie 0, 42%.

Eine Anwendung von Tschebyscheff Polynomen wird hier zur Erzeugung von Sinus-/Cosinusschwingungen benutzt. Eine Frequenzvervielfacherschaltung nach Figuren 1 bis 4, die um einen geeignet gewählten Arbeitspunkt mit einer Dreieckschwingung, gemäß Fig. 5 am Eingang betrieben, wird angegeben und beschrieben. Ein geeigneter Arbeitspunkt ist der Wert #0 = 3-7/2. Setzt man nämlich in Tn (cos (#)) = cos (n#) den Wert ç = go+x mit go = 3X/2, so erhält man Tn(sin(x)) =cos (3#/2#n+n#x), woraus sich sin(nx) für n # 1 mod 4 -cos(nx) für n # 2 mod 4 Tn(sin(x)) = # -sin(nx) für n # 3 mod 4 W cos (nx) f ur n-0 mod 4 ergibt. Ist der Wert von x nicht zu groß, was zum Beispiel der Fall ist für #x# ##/(2n) wenn n nicht zu klein ist, so gilt in guter Nährung Tn (x) #Tn (sin (x)) und somit erhält man sin (x) für n # 1 mod 4 -cos(x) für n # 2 mod 4 Tn(x/n) #Tn(sin(x/n)) = # -sin(x) für n # 3 mod 4 cos (x) für n = 0 mod 4 Hiermit folgt, daß mit der in Fig. 5 abgebildeten Dreieckschwingung mit Amplitude a=sin (s )=#/2n am Eingang von Tn (x) sich am Ausgang die Approximation einer Sinus/Cosinusschwingung entsprechend der obigen Gleichung ergibt, die mit steigendem n (nicht-monoton) besser wird.

TABELLE 2 Fehler emax n 2 3 4 5 6 7 3 9 10 li emax 15,6% 1,2% 4,01% 0.422% 1,788% 0, 214% 1,01% 0,129% 0,645% 0,286% 0,448% In der Tabelle 2 ist der maximale Fehlerwert emax=max#Tn(x)-Tn(sin (x)) # für x im Intervall [-a, a] angegeben, wobei a=sin (JL) =JL.

In der Tabelle 2 für emax spiegelt sich bis zu einem gewissen Grade die Hardwarekomplexität wider, was sich beispeilsweise darin zeigt, daß die Genauigkeit von T, (x) bei Approximation der Sinus/Cosinusfunktion größer ist als die Genauigkeit von T4 (x). Die Kosten von T3 sind für die Mehrzahl der Anwendungen aufgrund des notwendigen Multiplizierers hocher als für zwei Bausteine T2.

Wie bereits erwähnt, sind die Tschebyscheffschen Polynome n-ten Grades T, (x) definiert durch die Gleichung : Tn (cos (#)) = cos(n#), das heißt, gibt man eine Cosinusschwingung als Eingangsgröße in Tn (x), so erhält man am Ausgang der Schaltung die Cosinusschwingung mit n-facher Frequenz.

Informationen zu Tschebyscheff Polynomen sind zum Beispiel in"Abramowitz, Stegun : Handbook of Mathematical Functions" angegeben. Die ersten Tschebyscheff Polynome lauten : To (x) = 1, T1(x) = x, T2(x) = 2x2 - 1, etc. Sie lassen sich mit Multiplizierern und Addierern bzw. Subtrahierern realisieren. Für die Realisierung beliebiger n besonders hilfreich sind die beiden folgenden Beziehungen T.(x)-2.T.(x).T.(x)-T...(x)(3) Die Schaltungen für die Gleichungen (2) und (3) sind in den Figuren 1 und 2 dargestellt.

Die auf dieser Basis aufgebaute und realisierte Schaltung für Gleichung (2) gemäß Fi-g. 1 besteht aus zwei hintereinandergeschalteten Tschebyscheffmodulen 1 und 2, wobei an dem Tschebyscheffmodul 1 die anliegende Eingangsgröße mit der Grundfrequenz liegt und am Ausgang des Tschebyscheffmoduls 2 die Ausgangsgröße mit der um n-m vervielfachten Frequenz. Die Realisierung der Gleichung (3) ist in Fig. 2 dargestellt. Diese Schaltung besteht aus den Tschebyscheffmodulen 3, 4 und 5, deren Eingänge alle die Eingangsfrequenz x zugeführt bekommen. Die Ausgänge der Tschebyscheffmodule 3 und 4 sind auf den Eingang eines Multiplizierers 7 geführt, an dessen weiteren Eingang eine 2 zur Multiplikation anliegt. Der Ausgang des Multiplizierers 7 wird mit dem Ausgang des Tschebyscheffmoduls 5 auf einen Subtrahierer 8 geführt, an dessen Ausgang dann die Funktion T,,-, (x) gebildet wird.

Zu jedem beliebigen Wert N läßt sich nun das Tschebyscheffmodul TN (x) aus den Schaltungen der Figuren 1 und 2 zusammensetzen. Dabei ergeben sich je nach N verschiedene Realisierungsmöglichkeiten. Die jeweilige Realisierung ist abhängig von den Kosten jeweils vom Fachmann auszuwählen. Im folgenden wird der Einfachheit halber eine Realisierung mit Hilfe von Operationsverstärkern angenommen. Die angegebenen Schaltungen sind nicht notwendigerweise für jeden Anwendungsfall gleich gut geeignet. Je nach Kosten der benötigten Bauteile sind gegebenenfalls andere Realisierungen ohne weiters möglich und im gegebenen Fall günstiger. Mit Hilfe der hier angegebenen Gleichungen kann der Entwurf aber leicht modifiziert und auf den entsprechenden Anwendungsfall zurechtgeschnitten werden.

Unter Benutzung der in der Schaltungstechnik bekannten Operationsverstärkerschaltungen erhält man für die ersten nicht trivialen Polynome T2 (x) und T3 (x) die in den Figuren 3 bzw. 4 dargestellte schaltungsmäßige Realisierung bzw.

Implementierung. Bezeichnet man mit Kn die Kosten der Realisierung der Funktion Tn (x), so ist aus Fig. 3 zu ersehen, daß das mit Operationsverstärkern implementierte Polynom Tz die Kosten von einem Quadrierer 9, einem Operationsverstärker 10, zwei Widerständen 11 und 12 sowie einer Konstantspannungsquelle 13 verursacht.

Die Schaltung nach Fig. 4 für die Realisierung der Funktion T, (x) besteht wiederum aus einem Quadrierer 9, einem nachgeschalteten Multiplizierer 7 sowie einem Operationsverstärker 10, dessen Ausgangssignal über einen Spannungsteiler, bestehend aus den Widerständen 14 und 15, auf seinen Eingang rückgekoppelt ist. Am Ausgang dieser Schaltung stehen die entsprechenden elektrischen GröBen der Funktion Ta (x) zur Verfügung.

Damit ist gezeigt, daß durch eine derartige Schaltung eine preisgünstige Realisierung von Schaltungen zur Frequenzvervielfachung möglich ist.

Die für die Synthese beliebiger Tn (x) nützlichen Formeln sind die angegebenen Formeln (2) und (3).

Liste der Bezugszeichen 1 bis 5 Tschebyscheffmodule 6 Schaltungseingang 7 Multiplizierer 8 Subtrahierer 9 Quadrierer 10 Operationsverstärker 11, 12 Widerstände 13 Konstantspannungsquelle 14, 15 Widerstände 16 Schaltungsausgang